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二次函数的恒成立问题

已知函数f(x)x2ax1

问题一：f(x)0对xR恒成立，求实数a的取值范围。

问题二：f(x)0对x[1,3]恒成立，求实数a的取值范围。

练习：f(x)0对x[2,2]恒成立，求实数a的取值范围。

问题三：f(x)0对x[1,3]恒成立，求实数a的取值范围。

问题四：f(x)0对x(1,3)恒成立，求实数a的取值范围。

问题五：f(x)0对x(1,3)恒成立，求实数a的取值范围。

王丹

总结：比较问题二、三与问题四、五的区别，并总结：

（1）

若af(x)对xD恒成立a(f(x))max

（2）

若af(x)对xD恒成立a(f(x))min

特别注意：若函数f(x)的最值取不到，则（1）a(f(x))max；（2）a(f(x))min

（3）

若af(x)对xD恒成立a(f(x))max

（4）

若af(x)对xD恒成立a(f(x))min

对于（3）（4）两种情况下的恒成立问题，无论最值是否能够取到，结果都一样。

问题六：f(x)0对a[4,4]恒成立，求实数x的取值范围。

问题七：f(x)0对a(4,4)恒成立，求实数x的取值范围。

（以下的几个问题仅供同学们课后思考）

问题八：f(x)0在x[1,3]有解，求实数a的取值范围。

问题九：f(x)0在x[1,3]有解，求实数a的取值范围。

问题十：f(x)0在x(1,3)有解，求实数a的取值范围。

问题十一：f(x)0在x(1,3)有解，求实数a的取值范围。

总结：比较问题八、九与问题十、十一的区别，并总结：

（5）

若af(x)在xD有解a(f(x))min

（6）

若af(x)在xD有解a(f(x))max

特别注意：若函数f(x)的最值取不到，则（1）a(f(x))min；（2）a(f(x))max

（7）

若af(x)在xD有解a(f(x))min

（8）

若af(x)在xD有解a(f(x))max

对于（7）（8）两种情况下的有解问题，无论最值是否能够取到，结果都一样。

问题十二：f(x)0在x[,3]上有两个不同的解，求实数a的取值范围。

问题十三：f(x)0在x[,3]上有解，求实数a的取值范围。

三、回到最初的问题中，用所学的知识来求解

1、《乐学七中》活页P38第3题：

若关于x的不等式xxc0的解集为R，求实数c的取值范围。

2、《乐学七中》活页P40第9题：

当x(1,2)时，不等式xmx40恒成立，则实数m的取值范围是

3、《乐学七中》活页P40第11题：

设函数f(x)mxmx6m，若对x[1,3],f(x)0恒成立，求实数m的取值范围。

四、课堂练习

22212121、对于满足0p4的所有实数p,使不等式x2px4xp3都成立的x的取值范围是 ( )A.

(3,) B.

(,1)

C.

(,1)(3,) D.

(,1][3,)

)

2、（2010·天津高考理科Ｔ16）设函数f(x)x21，对任意x[,32xf4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 。

m五、课后作业

1、（1）若关于x的不等式xaxa0的解集为(,)，则实数a的取值范围是 ；

（2）若关于x的不等式xaxa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ．

22、设aR，二次函数f(x)ax若2x2a.f(x)0的解集为A,B(1,3)，22AB，求实数a的取值范围。

x22xa,对任意x1,,fx0恒成立,求实数a的取值范围. 3、(1)已知fxxx22xa,当x1,,fx的值域是0,,试求实数a的值. (2)已知fxx

1],有f(xy)f(x)f(y).

4、已知f(x)的定义域为[-1，1]，对任意的x,y[1,f(1)1,且当x0时，f(x)0。若f(x)a22ma1对任意x[1,1],m[1,1]恒成立，求实数a的取值范围。