习题2.1教案教学设计

第4课时

指数函数的图象与性质的应用

序号

1

知识目标

能灵活利用指数函数的单调性解决指数不等式问题

掌握与指数函数有关的复合函数的2

单调性、值域和最值等问题的处理方法

3

在学习中体会研究指数函数性质的意义,养成良好的思维习惯

学法建议

回顾指数函数的图象与性质,增强自己对指数函数图象与性质的理解

合作探究求指数型函数单调性、值域和最值的方法

合作探讨解决指数函数问题的思路、方法

关问题

能类比指数函数图象、单调性解决指数型函数的综合问题

能运用指数函数知识解决简单指数函数的综合问题

能力素养

会解指数函数不等式及其相

重点:指数不等式的解法;复合函数的单调性、值域和最值问题.

难点:复合函数的值域和最值的求法.

前面我们学习了指数函数的概念、图象与性质等,并重点学习了图象和性质的简单应用.在解决一些指数问题时,还常常会遇到与指数有关的不等式问题、与指数函数有关的复合函数问题等,这些都体现了对指数函数图象与性质的深层次应用,这一讲我们就来探索这些问题的解法.

预学1:指数函数y=a(a>0,且a≠1)的单调性

x当01时,y=a在R上是增函数.

xx练一练:已知指数函数f(x)=a,且f(3)>f(2),则a的取值范围是

.

x【答案】a>1

预学2:指数函数不等式的解法

(1)形如a()>a()的不等式,先确定底数a的值,若不能确定,需对a进行讨论:

fxgx当0a()等价于解不等式f(x)1时,a()>a()等价于解不等式f(x)>g(x).

fxgxfxgx

(2)形如a()>b()(a,b>0)的不等式,先把右边不等式转化为()()>1,再对进行讨论:

fxfxfx

当0b()等价于解不等式f(x)<0;当a>b>0时,a()>b()等价于解不等式f(x)>0.

fxfxfxfx

议一议:设0

【答案】{x|x>1}

预学3:求解函数y=af(x)

- >

-

.(指定小组回答,其他小组补充)

(a>0,且a≠1)在区间[m,n]上的最值

NMfxMN先求f(x)在区间[m,n]上的最值,假设f(x)在区间[m,n]上的最大值为M,最小值为N,再对a进行讨论:

当01时,函数y=a()的最大值为a,最小值为a.

fx练一练:函数f(x)=3(1≤x≤5)的最大值和最小值是多少?(抢答)

x-3【解析】因为1≤x≤5,所以-2≤x-3≤2.又函数f(x)=3是单调递增的,所以=3≤f(x)≤3=9,故所求函数的最x-22

大值是9,最小值是.

预学4:复合函数y=f[g(x)]在区间[a,b]上的单调性的判断

复合函数y=f[g(x)]可以看作由函数t=g(x)和y=f(t)复合而成,设函数t=g(x)在区间[a,b]的值域为[m,n],观察函数t=g(x)在区间[a,b]和y=f(t)在区间[m,n]上的单调性可以得到函数y=f[g(x)]的单调性,判断法则可以由四个字来概括,即同增异减,具体见下表:

t=g(x)在区间[a,b]上的单调性

增函数

增函数

减函数

增函数

减函数

增函数

增函数

减函数

减函数

减函数

减函数

增函数

y=f(t)在区间[m,n]上的单调性

y=f[g(x)]在区间[a,b]上的单调性

议一议:求函数f(x)=

- 的定义域、值域及其单调区间.(学生讨论,代表发言)

【答案】定义域是(-∞,1]∪[4,+∞),值域是[1,+∞),增区间是[4,+∞),减区间是(-∞,1]

1.若2<1,则x的取值范围是(

). A.(-1,1)

B.(-1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)

【解析】∵2<1=2,且y=2在R上是增函数,

x+10x+1x∴x+1<0,∴x<-1.

【答案】D 2.函数f(x)=

-

的定义域是(

).

A.(-∞,-1)

B.(-∞,-1]

C.(-1,+∞)

D.[-1,+∞)

【解析】若要函数有意义,需使-2≥0,即2≤=2.因为2>1,所以x≤-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1].

xx-1

【答案】B 3.函数y=()

|1-x|的单调递减区间是

.

-

|1-x|

【解析】y=()=

-

因此函数的单调减区间为[1,+∞).

【答案】[1,+∞)

4.若函数f(x)=a-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.

-

x【解析】当a>1时,函数f(x)=a-1在[0,2]上是增函数,由题意可知

解得a=

;

-

当0

xx

-

由题意可知

此时a无解.

-

综上所述,a=

.

探究1:求解有关指数函数的不等式

【例1】不等式2<0.5的解集是

.

3-2xx-1【方法指导】先把不等式两边化为同底的两个指数函数值,然后运用相关指数函数的单调性求解.

【解析】原不等式可化为2【答案】{x|x>2}

【针对训练1】已知a≤a(a>0,且a≠1),求x的取值范围.

2x+13-2x<21-x,因为2>1,所以3-2x<1-x,解得x>2.

所以原不等式的解集为{x|x>2}.

x-5【解析】当0

2x+1x-5∴2x+1≥x-5,解得x≥-6;

当a>1时,∵a≤a,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.

2x+1x-5故当01时,x的取值范围为(-∞,-6].

探究2:指数函数性质的综合应用

【例2】已知在R上的函数f(x)=(1)求a,b的值;

(2)用定义证明f(x)在R上为减函数;

(3)若对于任意的t∈R,不等式f(t-2t)

22

-

是奇函数.

【方法指导】(1)利用f(x)为R上的奇函数,求出a,b,再进行检验.(3)可结合(2),由于该函数在定义域上是减函数,转化为恒成立问题进行求解.

【解析】(1)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,得b=1.

又f(-1)=-f(1),得a=1.

经检验a=1,b=1符合题意.

(2)由(1)知,f(x)=则f(x1)-f(x2)=

-

,任取

x1,x2∈R,且x1

-

-

-

-

- -

=

=

.

因为x1

-

>0,

又(

+1)(

+1)>0,故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)为R上的减函数.

(3)因为t∈R,不等式f(t-2t)k-2t,即k<3t-2t恒22222

-

成立,而3t-2t=3(t-)-≥-,所以k<-.

22

【变式设问】本例中的(3)“若对于任意t∈R”改为“若对于t∈[1,2]”,其他条件不变,该如何求解?

提示:对于t∈[1,2],不等式f(t-2t)k-2t,即2222k<3t2-2t恒成立,即问题转化为当t∈[1,2]时,求3t2-2t的最小值.

令M(t)=3t-2t,而M(t)=3t-2t=3(t-)-在t∈[1,2]内是增函数,故M(t)=3t-2t的最小值为M(t)min=M(1)=1,2222

所以k<1.

【针对训练2】已知函数f(x)=

,则函数在(0,+∞)上(

).

A.单调递减且无最小值

B.单调递减且有最小值

C.单调递增且无最大值

D.单调递增且有最大值

【解析】由3>0,得3+2>2,∴0

<,故函数

xf(x)在(0,+∞)上既无最大值也无最小值.而y=3单调递增,故f(x)=

在(0,+∞)上单调递减.

【答案】A

探究3:与指数函数有关的函数最值问题

【例3】(1)函数f(x)=a(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为

.

x

(2)已知函数y=

- (a>0,且a≠1)在[0,2]上有最小值8,求实数a的值.

【方法指导】(1)分a>1,0

(2)利用复合函数的性质进行求解.

【解析】(1)若a>1,则函数f(x)=a在[1,2]上单调递增,∴a-a=,解得a=或a=0(舍去);

x2

若0

x∴a-a2=

,解得a=

或a=0(舍去).

综上所述,所求a的值为或.

(2)令u(x)=x-3x+3=(x-)+,

22

当x∈[0,2]时,u(x)max=u(0)=3;u(x)min=u()=.

当a>1时,ymin=

=8,解得a=16;

当0

3

因此a=16. 【答案】(1)或

【变式设问】把本例中的(2)改为:当0

2

- 的单调性.

t提示:令t=x-3x+3,则y=a.又t=(x-)+在(-∞,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,且y=a在R上是减函t2

数,∴函数y=

- 在(-∞,]上是增函数,在[,+∞)上是减函数.

xx+1

【针对训练3】求函数y=4-2-5在[-1,2]上的值域.

【解析】依题意y=(2)-2·2-5,令t=2,

x2xx∵-1≤x≤2,∴≤t≤4.

∴y=t2-2t-5=(t-1)2-6(

≤t≤4).

∴当t=1,即x=0时,ymin=-6;

当t=4,即x=2时,ymax=3.

∴函数的值域为[-6,3].

1.指数函数y=a(a>1)为单调递增函数,在闭区间[m,n]上存在最大值和最小值,并且当x=m时有最小值a,xnm当x=n时有最大值a.指数函数y=a(0

2.解简单指数不等式问题的注意点

(1)形如a>a的不等式,可借助y=a的单调性求解.如果a的值不确定,需分01两种情况进行xyx讨论.

(2)形如a>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=a的单调性求解.

xxx(3)形如a>b的不等式,可借助图象求解.

x3.比较两个指数式值的大小的主要方法

(1)比较形如a与a的大小,可运用指数函数y=a的单调性.

mmnnx(2)比较形如a与b的大小,一般找一个“中间值c”,若ac且c>b,则a>b.

mnmnmnmn

1.当x∈[-1,1]时,函数f(x)=3-2的值域是(

). A.[1,]

B.[-1,1]

C.[-,1]

xD.[0,1]

x-1【解析】因为f(x)=3-2是[-1,1]上的增函数,所以3-2≤f(x)≤3-2,即-≤f(x)≤1.

【答案】C 2.函数y=a

(0

).

|x|

又因为0

【解析】(法一)由题设知y=a=

|x|

(法二)因为y=a是偶函数,又0

|x|x【答案】C 3.函数f(x)=()在[-1,0]上的最大值是

.

x

【解析】因为函数f(x)=()在[-1,0]上是减函数,所以函数的最大值是f(-1)=()=3.

x-1

【答案】3 4.求不等式a3-2x<(

)x-1的解集.

3-2x

【解析】原不等式可化为a

当01-x,解得x<2;

当a>1时,可得3-2x<1-x,解得x>2.

综上所述,当0

当a>1时,原不等式的解集为{x|x>2}.

若函数f(x)=

是奇函数,则使

-

f(x)>3成立的x的取值范围为(

).

A.(-∞,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,+∞)

【解析】由题意知

-

f(x)=-f(-x),∴

=-,即(1-a)(2x+1)=0,解得

a=1,∴f(x)=

.由

f(x)=

>3,得

-

-

-

-

-

-

- 或

-

- 解得0

【答案】C

素养

数学抽逻辑推数学运直观想数学建数据分名称

象

理

算

象

模

析

题号

2,6,8,11

1,4,5,

6,7,9,10

3

基础达标(水平一

)

1.函数y=(

)1-x

的单调递增区间为(

). A.(-∞,+∞)

B.(0,+∞)

C.(1,+∞)

D.(0,1)

【解析】y=()=×2,故函数在R上为增函数.

1-x

x【答案】A 2.设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),若f(2)=4,则(

).

A.f(-2)>f(-1)

B.f(-1)>f(-2)

C.f(1)>f(2)

D.f(-2)>f(2)

【解析】由f(2)=a=4,得a=,∴f(x)=()=2,∴f(-2)>f(-1).

-2-|x||x|

【答案】A 3.函数y=|2-2|图象的大致形状是(

).

x

A

B

C

D 【解析】y=2-2的图象是由y=2的图象向下平移2个单位长度得到的,故y=|2-2|的图象是由y=2-2xxxx的图象在x轴上方的部分不变,下方的部分对折到x轴的上方得到的,比较四个图象可知B正确.

【答案】B 4.已知指数函数y=b·a在[b,2]上的最大值与最小值的和为6,则a=(

).

xA.2 B.-3 C.2或-3 D.

【解析】∵y=b

·a为指数函数,∴b=1,∴[b,2]=[1,2].∵y=a为单调函数,∴函数在[1,2]的端点处取得最xx

值,∴a+a=6,解得a=2或a=-3(舍去).

2【答案】A

5.设函数f(x)=

若f(x)是奇函数,则g(2)的值是

.

【解析】(法一)∵f(-2)=2=,f(x)是奇函数,

-2

∴g(2)=f(2)=-f(-2)=-

.

(法二)令x>0,则-x<0,∴f(-x)=2.

-x

又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x),

∴f(x)=-2-x.

∴g(x)=-2-x,∴g(2)=-2-2=-

.

【答案】-

6.若函数f(x)=

- - 的最大值为m,且f(x)是偶函数,则m+u=

.

【解析】∵f(-x)=f(x),∴

- =

- - ,

∴(x+u)2=(x-u)2,u=0,故f(x)=

-

.

2∵x2≥0,-x≤0,∴0<

-

≤1,

∴m=1,故m+u=1+0=1.

【答案】1 7.设函数f(x)=kx+2x(k为常数)为奇函数,函数g(x)=a()

-1(a>0且a≠1).

2fx(1)求k的值;

(2)求g(x)在[-1,2]上的最大值.

【解析】(1)由f(-x)=-f(x),得kx-2x=-kx-2x,所以k=0.

22(2)因为g(x)=a()-1=a-1=(a)-1.

fx2x2x当a>1,即a>1时,g(x)=(a)-1在[-1,2]上为增函数,所以g(x)的最大值为g(2)=a-1.当a<1,即0

-1.

2x

-

所以g(x)max=

-

拓展提升(水平二)

8.已知f(x)=|2-1|,当af(c)>f(b),则下列各式中正确的是(

).

A.2>2

C.2<2

-acacxB.2>2

D.2+2<2 xacab【解析】f(x)=|2-1|=

-

因为当af(c)>f(b),所以a<0,c>0,所以

-

f(a)=1-2a,f(c)=2c-1,所以f(c)-f(a)=2a+2c-2<0,即2a+2c<2.

【答案】D 9.设函数f(x)=

-

-

若f(x0)>1,则x0的取值范围是

.

【解析】若x0≤0,由f(x0)>1,得

-

-1>1,∴x0<-1;

若x0>0,由f(x0)>1,得

>1,∴x0>1.

综上可知,x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

【答案】(-∞,-1)∪(1,+∞)

10.已知函数f(x)=(

- .

(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)有最大值3,求a的值;

(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.

【解析】(1)当a=-1时,f(x)=(

-

令g(x)=-x-4x+3=-(x+2)+7,

22

- .

则g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=()在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递x

减,在(-2,+∞)上单调递增.即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).

(2)令h(x)=ax-4x+3,则f(x)=()().

2

hx

解得a=1.

由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,因此必有

-

-

即当f(x)有最大值3时,a的值为1.

(3)由指数函数的性质知,要使y=()()的值域为(0,+∞),应使h(x)=ax-4x+3的值域为R.因此只能a=0(因为hx2

若a≠0,则h(x)为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.

11.已知函数f(x)=1-(1)求a,b的值;

(2)证明:f(x)是区间(b-3,2b)上的减函数;

(3)若f(m-1)+f(2m+1)>0,求实数m的取值范围.

【解析】(1)∵函数(2)由(1)得f(x)=1-

f(x)=1-

,x∈(b-3,2b)是奇函数,∴f(0)=1-

=0,且

,x∈(b-3,2b)是奇函数.

b-3+2b=0,即a=2,b=1.

-

=,x∈(-2,2).

设任意x1,x2∈(-2,2)且x1

-

-

-

∴f(x1)-f(x2)=

-

=

.

∵x1

<

,∴

-

>0,

又

+1>0,

+1>0,

-

∴

>0,∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)是区间(-2,2)上的减函数.

(3)∵f(m-1)+f(2m+1)>0,

∴f(m-1)>-f(2m+1).

∵f(x)是奇函数,∴f(m-1)>f(-2m-1).

又f(x)是区间(-2,2)上的减函数,

-

- - ∴

-

-

即

-

∴-1

-

-

故实数m的取值范围是(-1,0).