阅读与思考 集合中元素的个数教学设计一等奖

1．1

集合

1．1.1

集合的含义与表示

第1课时

集合的含义

1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)

[基础·初探] 教材整理1

集合的含义

阅读教材P2～P3“思考”以上部分，完成下列问题．

1．元素与集合的概念

(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．

2．集合中元素的特性

1

集合中元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性．

3．集合的相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．(

) (2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(

) (3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．(

) 【解析】

(1)×.因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．

(2)√.根据集合相等的定义知，两个集合相等．

(3)×.因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1,1,1组成的集合有2个元素－1,1. 【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

教材整理2

元素与集合的关系

阅读教材P3“思考”以下至“列举法”以上的内容，完成下列问题．

1．元素与集合的表示

(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．

2．元素与集合的关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 3．常用数集及符号表示

数集

符号

非负整数集(或自然数集) N

正整数集

N*或N＋

整数集

Z

用“∈”或“∉”填空：

1*____N；－3____Z；2____Q；0____N；5____R. 22 有理数集

Q

实数集

R

11【解析】

因为2不是自然数，所以2∉N；－3是整数，所以－3∈Z；因为2不是有理数，所以2∉Q；0不是非零自然数，所以0∉N*；因为5是实数，所以5∈R. 【答案】

∉

∈

∉

∉

∈

[小组合作型]

集合的含义

下列所给的对象能构成集合的是________．

【导学号：97030000】

①所有的正三角形；

②比较接近1的数的全体；

③某校高一年级所有16岁以下的学生；

④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；

⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；

⑥

2的近似值的全体．

【精彩点拨】

判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有确定性．

【自主解答】

①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；

②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；

③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；

④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；

⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；

⑥不能构成集合，因为“2的近似值”未明确精确到什么程度，因此不能断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．

3

【答案】

①③④

判断给定的对象能不能构成集合就看所给的对象是不是具有确定性，同时还要注意集合中的元素的互异性、无序性.

[再练一题] 1．下列各组对象中不能构成集合的是(

) A．佛岗中学高一班的全体男生

B．佛岗中学全校学生家长的全体

C．李明的所有家人

D．王明的所有好朋友

【解析】

A中，佛岗中学高一班的全体男生，满足集合元素的确定性，故可以构成集合；B中，佛岗中学全校学生家长的全体，满足集合元素的确定性，故可以构成集合；C中，李明的所有家人，满足集合元素的确定性，故可以构成集合；D中，王明的所有好朋友，不满足集合元素的确定性，故不可以构成集合．故选D. 【答案】

D 元素与集合的关

系

2

给出下列6个关系：①2∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z. 其中正确命题的个数为(

) A．4

C．2

B．3

D．1 【精彩点拨】

首先明确字母R，Q，N，Z表示的数集的意义，再判断所给的数与数集的关系是否正确．

【自主解答】

R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数4

集，所以①④正确，因为0是自然数，3，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．

【答案】

C

1．在求解时常因混淆数集Q，N，R及Z的含义致误．

2．判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性．

[再练一题] 2．用符号“∈”或“∉”填空．

若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，(－1,1)______A. 【解析】

第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) ∉A. 【答案】

∈

∈

∉

[探究共研型]

集合中元素的特性及简单应用

探究1

“北京市的高楼”能否组成一个集合？“北京市高于100米的楼”能否组成一个集合？

【提示】

“北京市的高楼”不能组成一个集合，因为“高楼”没有明确的标准，而“北京市高于100米的楼”能组成一个集合，因为标准是确定的．

探究2

“小于4的自然数”构成的集合中有哪些元素？甲同学的答案是0,1,2,3；乙同学的答案是3,2,1,0，他们的回答都正确吗？由此说明什么？

【提示】

两个同学的回答都是正确的．由此说明集合中的元素是没有先后顺序的，这就是集合中元素的无序性．

探究2

若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？

5

【提示】

因为a和a2都是集合A中的元素，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.

已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．

【精彩点拨】

按a＝1或a＝a2分两类分别求解实数a的值，注意验证集合A中元素的互异性．

【自主解答】

由题意可知，a＝1或a2＝a，

(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2＝1相矛盾，故a≠1. (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．

综上可知，实数a的值为0.

1．本题按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4为标准分类，从而做到“不重不漏”；在解含字母的问题中，常常采用分类讨论的思想，注意分类标准的统一和明确．

2．本题在求解的过程中，常因忽视检验集合中元素的互异性，导致产生增解－1.

[再练一题] 3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(

) 【导学号：97030001】

A．2

C．0或3

B．3 D．0,2,3均可

【解析】

由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．

6

【答案】

B

1．下列对象不能构成集合的是(

) ①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．A．①②

C．①②③

B．②③

D．①③

【解析】

研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D. 【答案】

D 12．下列三个关系式：①5∈R；②4∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是(

) A．1

C．3

B．2

D．0 1【解析】

①正确；②因为4∈Q，错误；③0∈Z，正确．

【答案】

B 3．已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b等于(

)

【导学号：97030002】

A．1

C．±1

B．－1

D．0 【解析】

由题意可知|b|＝1，∴b＝±1. 【答案】

C

4．a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(

) 7

A．矩形

C．菱形

B．平行四边形

D．梯形

【解析】

由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.

【答案】

D 5．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

【解】

∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

若－3＝a－3，

则a＝0，

此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．

综上所述，a＝0或a＝－1.

8