习题2.1教案3

指数与指数函数

1．根式

(1)根式的概念

n若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*，式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(2)a的n次方根的表示

x＝na当n为奇数且n∈N时，x＝a⇒x＝±na当n为偶数且n∈N时.*n*

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：n＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

②负分数指数幂：

(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

＋②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

a＞1

0＜a＜1 图象

定义域

值域

R

(0，＋∞) 过定点(0,1) 性质

当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1

在R上是增函数

4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) nn(1)an与(a)n都等于a(n∈N*)．(×) 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在R上是减函数

n(2)当n∈N*时，(－3)n都有意义．(×) (3)分数指数幂m可以理解为个a相乘．(×) n＋1(4)函数y＝3·2x与y＝2x都不是指数函数．(√) (5)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.(×) (6)

－＝－1.(×) (7)函数y＝ax是R上的增函数．(×) (8)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(×) (9)当x＞0时，y＝ax＞1.(×) (10)函数y＝2x1＋1，过定点(0,1)．(×) －

考点一

指数幂的运算

[方法引航]

指数幂的化简方法

1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. 2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数. 4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.

1．化简－(－1)0的结果为(

) A．－9

B．7

C．－10

D．9 解析：选B.

－(－1)0＝－1＝8－1＝7. 42．化简16x8y4(x＜0，y＜0)的正确结果是(

) A．2x2y

B．2xy

C．4x2y

D．－2x2y

44解析：选D.16x8y4＝24x24y4＝2·x2·|y|＝－2x2y. 考点二

指数函数图象及应用

[方法引航]

1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.

2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 1.

函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0 解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0. 答案：D 2.

k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．

3．(2017·河南三市一模)函数f(x)＝2|x1|的图象是(

) －

解析：选B.f(x)＝2|x1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，故选B. －4．(2017·河北衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1] 考点三

指数函数的性质

1.比较指数式的大小

命题点

2.解指数方程或指数不等式

3.与指数函数复合的函数性质

[方法引航]

1比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.

2解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.

3与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域最值、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可. 1－1.51.

(2017·天津模拟)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝2，则(

) A．y3＞y1＞y2

B．y2＞y1＞y3

C．y1＞y2＞y3

D．y1＞y3＞y2

1－1.51.5x1.441.51.8解析：y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝＝2，∵y＝2是增函数，∴2＜2＜2，即y2＜y3＜2y1.答案：D 2.

(2017·安徽合肥八中测试)不等式2解析：原不等式可化为2－x＋2x－x＋2x21x＋4＞2的解集为________．

2＞2－x－4，即－x2＋2x＞－x－4，∴x2－3x－4＜0，

(x－4)(x＋1)＜0，∴－1＜x＜4.答案：{x|－1＜x＜4} 1ax2－4x＋33.

已知函数f(x)＝3

①若f(x)有最大值3，求a的值；

②若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

1g(x)解：①令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝3，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

a＞0，因此必有3a－4

＝－1，a解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. 1g(x)②由指数函数的性质知，要使y＝3的值域为(0，＋∞)．

应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0. [方法探究] 整体换元法，巧化指数式

指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．

一、根据整体化为同指数

[典例1]

计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________．

[解析]

原式＝(3－2)2 018·(3＋2)2 018·(3＋2)＝[(3－2)·(3＋2)]2 018·(3＋2)＝3＋2. [答案]

3＋2

二、根据整体化为同底数

34[典例2]

若67x＝27,603y＝81，则－＝________. xy[解析]

∵67x＝27,603y＝81，

[答案]

－2 三、根据整体换元

1x1x[典例3]

函数y＝4－2＋1在区间[－3,2]上的值域是________．

1x1，8，

[解析]

因为x∈[－3,2]，所以若令t＝，则t∈241313t－2＋.当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57. 故y＝t2－t＋1＝24243，57. 故所求函数值域为43，57

[答案]

4[高考真题体验] 1．(2016·高考全国丙卷)已知A．b＜a＜c

C．b＜c＜a

解析：选A.因为数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c. 2．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(

) A．f(x)＝x3

C．f(x)＝

B．f(x)＝3x

1xD．f(x)＝2

＋则(

) B．a＜b＜c

D．c＜a＜b

且幂函数y＝在R上单调递增，指数函解析：选B.对于选项A，f(x＋y)＝(x＋y)3≠f(x)f(y)＝x3y3，排除A；对于选项B，f(x＋y)＝3xy＝3x·3y＝f(x)f(y)，且f(x)＝3x在其定义域内是单调增函数，B正确；对于选项C，f(x＋y)＝x＋y≠f(x)f(y)＝＝xy，1x＋y1x1y1x在其定义域内是减函数，排除D.排除C；对于选项D，f(x＋y)＝＝＝f(x)f(y)，但f(x)＝2222故选B. 3．(2015·高考山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________. 1f－1＝0a＋b＝0解析：①当0＜a＜1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递减，由题意可得，即0，解得f0＝－1a＋b＝－1－

1a＝23，此时a＋b＝－. 2b＝－21f－1＝－1a＋b＝－1②当a＞1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得，即0，显然无解．所f0＝0a＋b＝0－

3以a＋b＝－. 23答案：－

24．(2015·高考福建卷)若函数f(x)＝2|xa|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实－数m的最小值等于________．

解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，做出函数f(x)＝2|x1|的图象如－图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，故实数m的最小值为1.

答案：1 课时规范训练

A组

基础演练

1．化简A．a

C．a2b

(a＞0，b＞0)的结果是(

) B．ab

1D.

a解析：选D.原式＝2．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(

) 1－＝a1＝，故选D. a

解析：选C.当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C. 1x3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2的图象之间的关系是(

) A．关于y轴对称

C．关于原点对称

B．关于x轴对称

D．关于直线y＝x对称

1x－xx解析：选A.∵y＝＝2，∴它与函数y＝2的图象关于y轴对称．

24．函数y＝2x－2x是(

) －A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

解析：选A.根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f(x)＝2x－2x，则f(－x)＝2x－2x＝－f(x)，所以函数是奇函数，排除C，D.又函数y＝2x，y＝－2x都是R上的增－－－函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)＝2x－2x是R上的增函数，故选A. －5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．

解析：由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2. 答案：(1,2) 6．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

解：令t＝ax(a＞0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．

11a，，此时f(t)在a，上为增函数．

①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈aa1121111＋1－2＝14.所以＋12＝16，所以a＝－或a＝.又因为a＞0，所以a＝. 所以f(t)max＝f＝aaa53311，a，此时f(t)在，a上为增函数．

②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈aa所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，

1解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3. 37．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．

(1)试确定f(x)；

1x1x(2)若不等式a＋b－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

a＝6，

①b·解：(1)∵f(x)＝b·a的图象过点A(1,6)，B(3,24)，∴3

b·a＝24，

②x

②÷①得a2＝4，又a＞0且a≠1，∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x. 1x1x1x＋1x在(－∞，1]上恒成立．

(2)由(1)知＋－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤ab231x1x令g(x)＝2＋3，则g(x)在(－∞，1]上单调递减，

5115－∞，. ∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，故所求实数m的取值范围是6236

B组

能力突破

1．已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0. 其中有可能成立的关系式有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：选C.依题意，在同一坐标系内画出函数y＝2x，y＝3x的图象与直线y＝t，平移直线y＝t，通过观察可知，直线y＝t分别与函数y＝2x，y＝3x的图象的交点的横坐标a，b的大小关系可能是a＜b＜0；a＝b＝0；0＜b＜a，因此其中有可能成立的关系式共有3个，故选C. 1x2．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝10在x∈[0,4]上解的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选D.由f(x－1)＝f(x＋1)可知T＝2. ∵x∈[0,1]时，f(x)＝x，又∵f(x)是偶函数，∴可得函数图象如图所示．

1x∴f(x)＝10在x∈[0,4]上解的个数是4个．故选D.

1－3ax＋10a，x≤7，3．已知函数f(x)＝x－7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是(

) a，x＞7

11161216，

B.， C.，

D.，

A.32311232111－3ax＋10a，x≤7，解析：选B.∵函数f(x)＝x－7是定义域上的递减函数，

a，x＞7

1－3a＜0，1－3a＜0，∴0＜a＜1，即0＜a＜1，1－3a×7＋10a≥a0，7－11a≥1，

16解得＜a≤. 3119x－14．已知f(x)＝x＋1，且f(a)＝3，则f(－a)的值为________．

39x－132x－1－－－－解析：∵f(x)＝x＋1＝x＋1＝3x－3x＋1，函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R，f(－x)＝3x－3(33x)＋1＝3x－3x＋1，∴f(x)＋f(－x)＝(3x－3x＋1)＋(3x－3x＋1)＝2，由于f(a)＋f(－a)＝2，所以f(－a)＝2－－－－f(a)＝2－3＝－1. 答案：－1