3.1.2 指数函数名师教学实录

3.1.2

指数函数(一)

明目标、知重点

1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象.2.初步学会运用指数函数解决问题．

1．指数函数的概念

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质

图象

a>1

0

定义域

值域

过定点

函数值的变性质

化

单调性

0

当x<0时，y>1 R (0，＋∞)

过点(0,1)，即x＝0时，y＝1

当x>0时，y>1；当x<0时，当x>0时，0

[情境导学]

探究点一

指数函数的概念

思考1

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为y，则y与x的函数关系是什么？

思考2

从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花．这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古生物的年代，可以用放射性碳法：在动植物体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半．若14C的原始含量为1，经过x年后的残留量为y，则

y与x的函数关系是什么？

思考3

思考1和思考2有什么共同特征？

小结

指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 思考4

指数函数定义中为什么规定了a>0且a≠1? 思考5

函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？

例1

在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

(1)y＝2x2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；

＋(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．

反思与感悟

根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>1，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．

跟踪训练1

指出下列函数哪些是指数函数：

(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝(－4)x；

1a>，且a≠1. (4)y＝xx；(5)y＝(2a－1)x2探究点二

指数函数的图象与性质

11问题

分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝()x的图象及y＝3x与y＝()x的图象，如何通过23观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质．

思考1

图象分布在哪几个象限？这说明了什么？

思考2

猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？

思考3

图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？

1x1xx思考4

函数y＝2x与y＝的图象及函数y＝3与y＝()的图象有什么关系？

23思考5

你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) 例2

已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．

反思与感悟

要求指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．

跟踪训练2

当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax2－3必过定点________．

－例3

比较下列各组数中两个值的大小：

(1)1.52.5,1.53.2；(2)0.5－1.2,0.5－1.5；

(3)1.50.3,0.81.2. 反思与感悟

比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、(2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其它数值．

跟踪训练3

比较下列各组数中两个值的大小：

(1)30.8,30.7；(2)0.75(4)0.993.3,0.994.5. 例4

(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；

(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．

反思与感悟

通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法．

跟踪训练4

已知f(x)＝3xb(2≤x≤4，b为常数)的图象过点(2,1)，则f(x)的值域为________．

－－0.1,0.750.1；(3)1.012.7,1.013.5；

1．下列各函数中，是指数函数的是________．(填序号) ①y＝(－3)x；

②y＝－3x；

③y＝3x1；

1x④y＝3. －2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则a，b的取值范围为________________．

3．函数f(x)＝1－2x的定义域是________________．

xax4．函数f(x)＝(a＞1)的图象的大致形状为________．

|x|

5.已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝________.

[呈重点、现规律]

1．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1. 2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．

3．由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．

4．求函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)的值域的方法如下：

(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；

(2)求t＝f(x)的值域t∈M；

(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．