3.1.1 分指数函数教案2

第五讲

变换的不变量与特征向量

一.

特征值与特征向量

【探究】

1.

计算下列结果：

10a＝

010100＝

01ba0以上的计算结果与，的关系是怎样的？

0b

2.

计算下列结果：

10a＝

020100＝

02ba0以上的计算结果与，的关系是怎样的？

0b

【定义】

设矩阵A＝ab，如果存在实数及非零向量，使得A，则称是矩阵A的一cd个特征值。

是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。

（结合探究1、2说明，特征值与特征向量）

【定理1】

如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。

其几何意义是什么？

1

【定理2】

属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。

【应用】

3从几何角度解释旋转变换21213的特征值与特征向量。

22

二、特征值与特征向量的计算

1. 设A＝2213，求A的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。

2

【总结规律】

一般的，矩阵A＝abcd的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。

【应用】

求A＝1214的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。



【练习：P70】

【第五讲.作业】

3

x'x1.设反射变换:'对应的矩阵为A，则下列不是A的特征向量的是 yy（ ） A. B.  C. 011001 D. 

112.下列说法错误的是 （ ）

A.矩阵A的一个特征向量只能属于A的一个特征值 B.每个二阶矩阵均有特征向量 C.属于矩阵A的不同特征值的特征向量一定不共线 D. 如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。

3.设1，2分别是恒等变换与零变换的特征值，则1－2＝ 4.投影变换:00的所有特征值组成的集合为 01ab5.矩阵的特征多项式为 cd6.已知A是二阶矩阵，且A＝0，则A的特征值为 7.若0是矩阵A＝211的一个特征值，则A的属于0的特征向量为 0x1m18.已知1、2是矩阵A＝的特征值，则A＝ 3n9.若向量是矩阵121m的一个特征向量，则m＝ 2201

4010.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：①②

1034 ③

1152

4

11.已知向量是矩阵

0k1m的一个特征向量，求m的值。

022a112.设A＝①是A的属于2的一个特征向，分别求满足下列条件的所有矩阵A：3b2量。②

13.对任意实数x，矩阵1是A的一个特征向量。

2x3m总存在特征向量，求m的取值范围。

2m2

14设A是可逆的二阶矩阵，求证：①A的特征值一定不是0；②若是A的特征值，则1/－1是A的特征值。

1.Ｄ

2.Ｂ

3.１

4.｛0，1｝

5.f()(ad)adbc

6.0

210kk7.

8. 31

9.１

10.①2,k0

或k2k222,k02kk；②或③7,k01,k01,k0k0或k2kkk4k2,k0

11.ｍ＝0 5k0122212.①②②A



13.－3≤ｍ≤2

14.①有特征多项式证明；733322A1(A)A1()，

A1()(A1)

A11

得征。

5