3.4.1 函数与方程优质课一等奖

§3.4.1用二分法求方程的近似解

一、教学目标：

知识与技能——理解二分法的原理及其适用条件，掌握二分法的操作步骤。

过程与方法——通过对二分法操作步骤的探究，体会函数与方程间的关系，感受从具体都一般的探究过程。

情感态度与价值观——通过对二分法操作步骤的探究激发学生的学习热情，感受数学在生活中的广泛应用。

二、学情分析：本节课的授课对象为高一年级的学生，在本节内容之前，学生已经学习了零点的概念及零点存在性定理。在生活中学生经常会应用到二分法的思想，基于这样的生活经历，学生对二分法的理解不是特别难。为了激发学生的学习热情，本节课借用“猫和老鼠”动画片中的相应片段，由此和学生共同归纳得到二分法的操作流程。并以流程图的形式进行总结展示，这样能够清晰地帮助学生掌握二分法的操作流程。

三、教学重点：掌握用二分法求给定方程近似解。

四、教学难点：能将求方程近似解问题转化为求相应函数零点的近似值问题。

五、教学过程: （一）知识回顾

1.零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

2.三个“二次”间的关系：

函数y=f(x)的图

3.零点存在定理:如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）上必有零点. （二）探究新知

1.你会解下列方程吗? （1）2x60；

（2）x22x10；

（3）x32x10；

（4）lgx2x30.

让学生来解上述方程。学生通过现有的知识，可以利用求根公式来解一次和二次方程。但我们在物理学和天文学中经常会遇到第（3）和（4）这类方程，求得这类方程的近似值是非常重要的。基于这样的实际研究需要，由此引出本节课课题。

2.从学生熟悉的一元二次方程入手，来探究求方程近似解的一般步骤：

（1）求方程x22x10的一个正的近似解？（精确到0.1）

学生通过估算21.4，从而得出正的近似解为2.4.

方程

f(x)=0 有实数根

象与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

（2）求方程x32x10的一个正的近似解？（精确到0.1）

在（1）中的估算方法显然在（2）中不再适用。解决这个问题的方法在我们的生活中非常常见，为同学们播放一段《猫和老鼠》的动画片，看能否从中找到求方程近似解的一般方法。

当小老鼠跑进管子内时，暂停动画。

（提出问题：你打算如何帮助猫找到小老鼠？

预设学生的答案：把管子切开；

教师：如果借给你一把斧子，你认为如何切才能最快地找到小老鼠？

预设学生的答案：把管子从中间切开；

教师：如果再借你一个听诊器，你打算如何使用？

预设学生的答案：听一下小老鼠在管子的哪一端；

教师：接下来你打算怎样做？

预设学生的答案：将小老鼠所在的那部分管子再从中间切开，然后利用听诊器来确定小老鼠在哪一段，重复这样的操作步骤即可。）

在经过这样的思考探究之后，播放动画，然后回答如下问题：

①猫利用哪些工具抓老鼠？（斧子，听诊器）

②猫每次都从何处砍断管子？（从管子中间处）

③猫的听诊器有何作用？（判断小老鼠在切开的哪一段管子中）

我们可以将猫找小老鼠的办法类比到求方程近似解的过程中。

求方程x22x10的一个正的近似解？（精确到0.1）也就是求函数

f(x)x22x1的正的零点的近似值？（精确到0.1）

猫捉老鼠的方法

求函数零点的近似值

老鼠

零点近似值

管子

区间

听诊器

零点存在性定理

分析：先画出函数f(x)x22x1的简图，

f(2)0,f(3)0x1(2,3)

f(2)0,f(2.5)0x1(2,2.5)

f(2.25)0,f(2.5)0x1(2.25,2.5)

f(2.375)0,f(2.5)0x1(2.375,2.5)

f(2.375)0,f(2.4375)0x1(2.375,2.4375)

2.4375 与2.375精确到0.1都为2.4，x12.4

通过上述探究来和同学们共同归纳得出二分法的操作流程：

求中点，算其函数值

确定初始区间

缩小区间

返

回

比较精确度

下结论

求方程x32x10的一个正的近似解？（精确到0.1）

解：将上述求方程的近似解转化为求函数f(x)x32x1的零点的近似值（精确到0.1）

方程x32x10的一个正的近似解也是函数由两个函数yx3与y2x1交点的横坐标，图象可以初步确定交点所在的初始区间为(0,1)。

f(0)0,f(1)0x1(0,1);11f(0)0,f()0x1(0,);

2211111111f()0,f()0x1(,);f()0,f()0x1(,);

4242424231317171f()0,f()0x1(,);f()0,f()0x1(,);

828216216271571529152915f()0,f()0x1(,);

f()0,f()01x(,

);

1632163264326432x10.5

（三）例题讲解

例1.下列函数图象中，其中不能用二分法求解其零点近似值的是（

）

注意：二分法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用。答案：③

例2.用二分法求函数yf(x)在（1,2）内零点近似值的过程中得到f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0，则函数零点落在哪个区间？

解：通过二分法可以得到，函数零点落在（1.25,1.5）间. 例3.求方程lgx+x-3=0的近似解(精确到0.1)．下列对数值供参考：lg20.30;lg2.50.40;lg30.48;lg2.750.44;lg2.6250.42;lg2.56250.41

分析：求该方程的解，可转化为求y=lgx+x-3零点的近似值

由ylgx与yx3的图象可得x1(2,3)，

f(2)0,f(3)0x1(2,3); f(2.5)0,f(3)0x1(2.5,3); f(2.5)0,f(2.75)0x1(2.5,2.75); f(2.5)0,f(2.625)0x1(2.5,2.625)

f(2.5625)0,f(2.625)0x1(2.5625,2.625)

x12.6

例4.求方程2xx4的近似解（精确到0.1）.下列数值供参考：

21.52.83;21.252.38;21.3752.59;21.43752.71.

分析：求该方程的解，可转化为求f(x)2xx4的零点.

由y2x与x1(1,，2)

yx4的图象可以得出

f(1)0,f(2)0x1(1,2);

f(1)0,f(1.5)0x1(1,1.5);

f(1.25)0,f(1.5)0x1(1.25,1.5);

f(1.375)0,f(1.5)0x1(1.375,1.5);

f(1.375)0,f(1.4375)0x1(1.375,1.4375);

∴x11.4

课堂小结

用二分法求方程的近

似解一般步骤：

：

缩小区间

确定初始区间

求中点，算其函数值

返

回

比较精确度

下结论

本节内容运用的数学思想：

转化思想，数形结合思想，逐步逼近思想。

（四）课后作业

评测练习

六、板书设计：

§3.4.1用二分法求方程的近似解

PPT展区

二分法的操作步骤：

例题：