3.3 幂函数优质课教案推荐

《幂函数》教学设计

扬大附中东部分校叶红萍

【学习内容分析】

本节课的主要内容是幂函数的定义幂函数的图象及其性质，一般幂函数的性质。本节课是学生在学习了指数函数对数函数之后，学习函数的应用之前。它是学生学习了函数的概念和性质后学习的第三个基本初等函数。幂函数是目前为止学生学习的最复杂的基本初等函数，它的图象与性质相对于前两个都更加复杂，不是简单的分类讨论可以解决的，这对于学生来说是一个难点。研究指数函数和对数函数的方法可以用于本节课的研究，因此学习幂函数是对先前所学的方法的应用。通过本节课的学习的能进一步培养学生数形结合、分类讨论及从特殊到一般的数学思想，认识到数学来源于生活。

【学习者分析】

学生需要从中学习幂函数的定义、幂函数的图象及其性质和一般的幂函数的性质。学生在知识上已经掌握了指数幂的运算以及函数的定义、函数的单调性、奇偶性等性质。在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、从特殊到一般等数学思想。可以说学生对本节课的学习已有了一定的知识储备和能力基础。

【目标阐述】

（一）知识与能力

1.能阐述幂函数的概念，会用定义判断函数是否是幂函数。

2.能画出典型的幂函数的图象。

3.掌握幂函数的性质，并能利用性质解决简单的数学问题。

（二）过程与方法

1.能从生活中的问题抽象出的典型幂函数中总结的特征，归纳出幂函数的定义。

2.能通过描点法做出典型幂函数的图象，探究幂函数的图象特征及性质。

3.能在研究幂函数的过程中获得研究函数的一般规律和方法。

（三）情感态度与价值观

1.在幂函数的定义归纳中，体会数学来源于生活。

2.体会从特殊到一般，数形结合和分类讨论的数学思想方法。

（四）教学重点

1.幂函数的定义与典型幂函数的图象。

2.幂函数的性质与应用。

（五）教学难点：

1.指数a对幂函数图象及性质的影响。

2.幂函数的性质的应用。

【过程设计】

一、创设情境，引入概念

师：首先请同学们看一下这5个生活中的实例，它们分别抽象出了5个函数。

问题1:请同学们看一下，这5个函数有什么共同特征？它是我们学过的函数吗？

1.如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y=x元，这里y是x的函数。 2.如果如果正方形的边长为x，那么正方形的面积

，这里y是x的函数。

3.如果立方体的边长为x，那么立方体的体积

，这里y是x的函数。

4.如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形的边长

，这里y是x的函数。。

5.如果某人x

秒内骑车行进了1公里，那么他骑车的平均速度

，这里y是x的函数。

师：具有这种特征的函数就是我们今天要学习的幂函数。

问题2：你能给幂函数下个定义吗？

师生活动：教师让学生在纸上写出幂函数的定义，请一位同学站起来回答，根据学生的回答在黑板上板书。

幂函数的定义：一般地，函数

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

师：幂函数和指数函数在形式上有些相似，请问同学们。

问题3：幂函数与指数函数有哪些相同点，哪些不同点？

师生活动：教师请学生4人一小组讨论，请2个小组中分别派1名学生回答。

PPT呈现：

不同点：

①指数函数的底是常数，指数是自变量；幂函数的底是自变量，指数是常数。

②指数函数的定义域是R，幂函数的定义域不一定是R。

相同点：

①都是指数幂的形式。

②指数幂前面的系数都是1。

师：在学习了幂函数的定义之后，接下来就要看看大家是否掌握了幂函数的定义。请大家实战演练一下。

问题4：1.判断下列函数是否为幂函数：

①

y=2x

-----(

)

②yx4

-----(

)

3③

y3x

-----(

)

④y

--(

) （x1）⑤

y=

x

---(

)

⑥yx0

------(

)

53

5

35⑦yx1

--(

)

⑧

y



(

x

)

-----(

) （2）、已知幂函数y = f (x)的图象经过点（（3，3），求这个函数的解析式。

（3）、当t为何值时,y= （t1)xt1是幂函数? 师生活动：学生动笔写，第1、2题教师请学生齐答，第3题学生回答教师板书。

二、合作学习，探究新知

师：在学习了幂函数的定义之后，接下来我们是不是要看看幂函数长什么样子

（1）作出下列函数的图象并说明函数的单调性

y = x，（2）y = x

2，（3）

y = x 3.

(2）作出下列函数的图象并说明函数的单调性

(1) yx12(2)yx13（3）作出下列函数的图象并说明函数的单调性

（1）y = x -1

（2）

y = x -2.

师生活动：学生画图，教师巡视班级。5分钟后，教师用几何画板演示5个幂函数的图象在一个直角坐标系中的情形。

师：在知道了幂函数的图象之后，接下来我们是不是应该根据它的图象来研究幂函数的性质。

问题5：请大家根据图象，分别说出这5个幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。

师生活动：教师引导学生观察图象回答问题，并在几何画板中呈现答案。

师：那么我们将刚才所归纳的性质放在一个表格里。

问题6：观察表格，你能发现α和幂函数的奇偶性有什么关系？由此你能总结出什么规律？

定义域

值域

奇偶性

yx

R R 奇

yx2

R [0,+∞)

偶

[0,+∞)增

yx3

R R 奇

yx

[0,+∞)

[0,+∞)

偶

12yx1

{x|x≠0}

{y|y≠0}

奇

(0,+∞)减

单调性

增

(-∞,0]减

增

增

(-∞,0)减

定点

（1,1）

结论：当α为奇数时，幂函数是奇函数；当α为偶数时，幂函数是偶函数。

师生活动：教师引导学生思考，学生合作讨论并回答。

师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？

师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是1）时，让学生观察幂函数图象的奇偶性，由此来验证结论的正确性。

问题7：观察图象，你能找出5个函数的共同点吗？可以从定点、所在象限、定义域考虑。

师生活动：教师引导学生思考，学生合作讨论并回答。

结论：①都过点（1,1）

②都不经过第四象限，并且都经过第一象限

③α>0时，都过点（0,0）

④在（

，

）上都有定义

问题8：在第一象限内，幂函数图象的趋势与指数α有什么关系？你能总结出规律吗？

师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。

结论：当α

＞0 时，幂函数是增函数；当α

＜0 时，幂函数是减函数。

师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？

师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是0.1）时，让学生观察幂函数图象的单调性，由此来验证结论的正确性。

问题9：当α>0时，幂函数是增函数，但增长趋势却不同（开口方向），你能总结出规律吗？

师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。

结论：当 0＜α

＜1 时，幂函数图象开口向右；当α

＞1 时，幂函数图象开口向上。

师：刚才的结论是从这5个幂函数的性质得出来的，对于一般的幂函数，该结论仍成立吗？

师生活动：教师用几何画板演示当α变化（变化的单位是0.1）时，让学生观察幂函数图象的开口，由此来验证结论的正确性。

问题10：在第一象限内，当α<0时，幂函数是减函数，它们的图象有什么共同特征？

师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。

结论：在第一象限内，函数图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近。

师：在学习了幂函数的这么多性质之后，老师想看看大家掌握了多少。

问题11：这7个幂函数的指数分别 ，

，

，

，

， ，请将它们和函数图象配

对。

师生活动：学生独立思考。

师：你们目前判断起来是不是还比较困难，老师可以很快速地就看出来。只要你们再学习一个性质。

问题12：观察图象，你能总结出幂函数中指数α对图象的影响规律吗？

师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并回答。

结论：在第一象限内，在直线x=1的右侧，从x轴起，幂函数图象“指大图高”。

教师用几何画板演示当α变化的时候幂函数在第一象限内的图象变化趋势。

师：接下来我们一起来根据这张表格，总结一下刚才所探究的幂函数的性质。

师生活动：教师引导学生思考，学生独立思考并齐声回答。

范围

第一象限的图象

单调性

奇偶性

统一性质

三、巩固新知，应用提升

例1.下列命题中正确的是（ ）

A.当α=0时，函数

的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过（0,0）和（1,1）

C.若幂函数

是奇函数，则它一定是定义域上的增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

例2.比较下列各组数的大小. (1)

,

;

在（0，+∞）上单调减

在[0，+∞）上单调增

当α为奇数时，幂函数是奇函数；

当α为偶数时，幂函数是偶函数。

过定点（1，1），在（0，+∞）上均有定义。

(2)

,

;

师生活动：以上各题都由学生独立完成，当学生解题遇到困难时教师给予引导。

例2是利用幂函数的单调性比较两个数的大小，不能直接进行比较时, 可寻找一个中间值, 间接比较上述两个数的大小。

四、课堂小结，布置作业

教师引导学生对本节课的知识进行小结：

②

幂函数的定义。

② 典型幂函数的图象与性质。

③一般幂函数的性质。

④研究函数的一般方法。

⑤数学思想方法：1.从特殊到一般2.数形结合3.分类讨论

布置作业：

1.作业本3.2 【板书设计】

幂函数

一、定义

一般地，函数

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

二、5个幂函数的图象

三、性质

①当α为奇数时，幂函数是奇函数；

当α为偶数时，幂函数是偶函数。

②当

时，幂函数在[0，+∞）上单调增，

当

时，幂函数在（0，+∞）上单调减

③在第一象限内，

当 0＜α

＜1 时，幂函数图象开口向右；

当α

＞1 时，幂函数图象开口向上。

必修1

第2章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ教学案

教学目标：1.了解幂函数概念，会画常见幂函数的图象，并结合图象了解幂函数的变化情况和性质。

2.了解常见幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小。

3. 使学生进一步体会数形结合的思想。

教学重点：幂函数的图象、性质、应用。

教学难点：幂函数性质的应用。

教学过程：

一、课前预习

1用描点法画出下列函数的图像

yx

yx

yx2

2根据下列条件分别写出用x表示y的函数关系式

（1）、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，则所需的钱数y=____元. （2）、如果正方形的边长为x，则面积y=_____. （3）、如果正方体的边长为x，体积为y，那么y=_____. （4）、一个正方形场地的面积为x边长为y，那么y=_____. （5）、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的速度为y公里/秒，那么y=______ 二、学生活动

思考：这几个函数解析式有什么共同特点？

312

三、建构数学

1幂函数的定义：

几点说明：

探究1：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？

探究2：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？

尝

试

练

习：

（1）下列函数中是幂函数的，请打“

”；不是幂函数的，请打“

”

①

y=2x

-----(

)

②yx4

-----(

)

3③

y3x

-----(

)

④y

--(

) （x1）5x⑤

y=

---(

)

⑥yx0

------(

)

3⑦yx1

--(

)

⑧

y



(

x

)

-----(

) 53

5

（3，3），求这个函数的解析式。

（2）、已知幂函数y = f (x)的图象经过点（

（3）、当t为何值时,y= （t1)xt1是幂函数?

2探究幂函数的性质：

（1）作出下列函数的图象并说明函数的单调性

（1）y = x，（2）y = x

2，（3）

y = x 3.

（2）作出下列函数的图象并说明函数的单调性

11(1) yx2(2)yx3小结:0时函数yx图象有什么共同的特点y1-1O1x-1

（3）作出下列函数的图象并说明函数的单调性

（1）y = x

（2）

y = x.

-1 -1 -2y1O-11x

小结:0时函数yx图象有什么共同的特点

四、数学运用：

例1：已知幂函数y(mm1)x

2m22m3是幂函数，在（0，）是减函数求m的值。

例2：如图所示曲线是函数y=x

在第一象限内的图象，已知α

分别取-1，1，,2四个值，则相应的图象依次为_________ y=xay212y=xby=xc1y=xdo12x

例3：比较下列各组数的大小。

(1)3.14, (2)1.25,1.22 (3)3.6,2.5

1212113423

小结：比较幂的大小常用的方法

五、课堂小结

六、课后作业。同步导学P58 2.7.1幂函数

补充 1已知幂函数yxm22m3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，

（1）关于原点对称，求m的值。

（2）关于y轴对称，求m的值。

2．作出下列函数图象并由图象研究函数的单调性(1)yx435

(2)yx2

(3y)x3

y1-1O1x-1