3.4.1 函数与方程教学设计第二课时

方程的根与函数的零点

尤溪七中 林永星

一．

教学内容分析

本节内容是高中数学必修一第三章函数的应用第一节函数与方程第一课时方程的根与函数的零点；课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。本节设计特点是由特殊到一般的化归转化思想，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想、

“转化”、“函数与方程”、“特殊到一般”的思想。本节充分体现了函数图象和性质的应用。因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法。

二、教学目标

1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；

2、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；

3、能利用函数图象判断某些函数的零点个数及所在区间；

4.经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力，体会从特殊到一般的转化的数学思想。

三、学情分析

通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。其次，学生对于方程已经有了一定的认知基础，对方程的根并不陌生，这样就使得方程与函数联系的过渡使学生容易理解掌握，但学生对于数形结合的数学思想仍不能胜任，故本节课关键在于通过图像去突破重难点。

四、教学策略选择与设计

本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面，都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会，只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈．所以这节课总的设计理念是以学生为主概念与定理的建立是一个感知、探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生，紧扣教材，注重思维、注重过程。

五、教学重点及难点

教学重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理

教学难点：对零点存在性定理的准确理解；求函数零点的个数。

六、教学过程

1．函数的零点

函数零点的概念

方程的根与函数零点的关系

函数零点的存在性定理

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点

函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ＝b2－4ac 二次函数y＝Δ>0

Δ＝0

Δ<0 ax2＋bx＋c(a>0)的图象

(x1,0)

1

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(

) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(

) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)

无

0

与x轴的交点

(x1,0)，(x2,0)

零点个数

2

在[a，b]上有且只有一个零点．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．

解析：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a. a1令g(x)＝bx－ax＝0，得x＝0或x＝＝－. b221答案：0，－

2

知识点一 函数零点所在区间的判定

1．(2018·烟台模拟)函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在1x的区间是(

) A．(0,1)

B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：选B ∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－11<0，f(2)＝ln 3－>0，

2∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B. 2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3,4)

解析：选B 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.

3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．

解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，

f(8)＝82－3×8－18＝22>0，

∴f(1)·f(8)<0，

又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，

故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．

法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，

∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，

∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．

答案：存在

[怎样快解·准解] 1．函数零点所在区间的判断方法及适合题型

方法

定理法

解读

利用函数零点的存在性定理进行判断

画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断

适合题型

能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负．(如第1,4题) 容易画出函数的图象．(如第2,3题) 当对应方程f(x)＝0易解时．(如第4题) 图象法

解方可先解对应方程，然后看所求程法

的根是否落在给定区间上

2．利用函数零点存在性定理解题的步骤

知识点二 判断函数零点个数

x＋1，x≤0，1．已知函数f(x)＝log2x，x>0，

则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是(

) A．4

B．3 C．2 D．1 解析：选A 由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1，

11由f(－2)＝f＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝. 221若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；

411若f(x)＝，则x＝－或x＝2. 22综上可得函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4，故选A. 2．函数f(x)＝xA．0 C．2 解析：选B 函数f(x)＝x方程x12121x－的零点个数为(

) 2B．1 D．3 121x－的零点个数是211x1x2－＝0的解的个数，即方程x＝的解的22

个数，也就是函数y＝x121x与y＝的图象的交点个数，在同一坐标2系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1. [解题师说] 掌握判断函数零点个数的3种方法

(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．(如典题领悟第1题) (2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．

(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．(如典题领悟第2题) [冲关演练] 1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(

) A．0

B．1 C．2 D．3 解析：选C 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象如图所示．

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. xe－x－2，x≥0，2．函数f(x)＝2x＋2x，x＜0

的零点个数是(

) A．0 C．2 B．1 D．3

解析：选C 当x＜0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)．所以当x＜0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝e2－4＞0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有两个零点，故选C.

知识点三 函数零点的应用

[解题师说] 利用函数零点求参数范围的思路方法及步骤

(1)常规思路

已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．

(2)常用方法

(3)一般步骤

[冲关演练] 21．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数ax的取值范围是(

) A．(1,3)

B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 2解析：选C 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，x又函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有x2xf(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，

即a(a－3)<0，解得0

解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，

∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，

即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．

x121方程a＝4－2可变形为a＝2－－，

24xx1∵x∈[－1,1]，∴2∈，2，

2xx1211∴2－－∈－，2. 244

1∴实数a的取值范围是－，2. 41答案：－，2

4小结：

1.函数零点的定义? 2.在零点存在性定理中，要注意三点? 3.本节课体现了数学思想有? 设计意图：针对于本节课的教学和本节课需要让学生掌握的知识为依据，同时也可以让学生自行归纳，教师总结。

作业

完成课后练习

板书设计

方程的根与函数的零点

知识点一

知识点二

知识点三

：

例1：

…………………………

例2：

…………………………

设计意图：可以让学生对于本节的知识点衔接更准确，也好让学生清晰了解整节课的脉络，方便学生去掌握本节学习中还存在哪些不足，

可以在课下去寻找解决办法。

七

教学反思：