3.2.2 对数函数国家获奖教案

对数函数

【知识梳理】

1．对数函数的图象与性质

a>1

0

象

定义域：

(0，＋∞)

值域：

R

过点__(1,0)__，即x＝__1__时，y＝__0__ 性

质

当x>1时，__y>0__；

当0

是(0，＋∞)上的

增函数

当x>1时，__y<0__；

当00__ 是(0，＋∞)上的

减函数

ylogax的图象与ylog1x

(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称

a2．对数函数图象的位置变化与与底数大小的关系

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0

【基础回顾】

1、函数ylog0.5(4x3)

的定义域为 {x|0.223x1}

42、已知a3，b0.3，clog0.32，那么a,b,c的大小关系为 cba

2x3、函数ylg的图象关于 对称． 原点

2x3344、若1loga1，则a的取值范围为 ．(0,)(,)

443【范例导析】

例1、已知alog46，blog40.2，clog23，那么这三个数的大小关系是 bac

变式：若alog0.80.9，blog1.10.9，c1.10.9，那么这三个数的大小关系是 bac

例2、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，f(x)log1(x1)．

2（1）求f(0),f(1)的值；

（2）求函数f(x)的表达式；

（3）若f(a1)f(3a)0，求a的取值范围．

答案：（1）f(0)0,f(1)1

log1(x1) x02 （2）f(x)

log(x1) x012 （3）a2

变式：（1）上题修改为：已知f(x)是定义在[2,2]上的偶函数，且x0时，f(x)log1(x1)，若f(a1)f(3a)0，求a的取值范围．

2 2a3

（2）上题修改为：已知f(x)是定义在[2,2]上的奇函数，且0x2时，f(x)log1(x1)

2①求函数f(x)的表达式；

②若f(a1)f(3a)0，求a的取值范围．

log1(x1) 0x22答案：①f(x)

log(x1) 2x012②2a3

例3、已知函数f(x)loga(3ax) (a0且a1)

（1）若当x[0,2]时，f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

答案：（1）0a3且a1；

2 （2）这样的实数a不存在

【当堂反馈】

1、函数f(x)ln1的定义域为 (,1)

1x2、已知函数f(x)log0.5(x22ax3)

（1）若f(x)的值域为(,1]，试求实数a的值；

（2）若f(x)在区间(,1]上是增函数，求实数a的取值范围．

答案：（1）a1

（2）1a2

变式：（2）条件改成：若f(x)在区间(,1)上是增函数

log2x x03、已知函数f(x)log(x) x0，若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是 12 (1,0)(1,)

课时达标

一、填空题

lgx＋11．函数y＝的定义域是

(－1,1)∪(1，＋∞)

x－1

2．函数f(x)log1(x24)的单调递增区间是

(－∞，－2) 2解析

函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝log1

t与t2＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log1

t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递2减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

171973．设a()4，b()5，clog2，则a，b，c的大小顺序是

997

c

7－494

，b＝95

，且函数y＝9x为R上的增函数，1>1，∴a>b>0，解析

∵a＝

＝9777457又∵c＝log2<0，∴c

94．函数ylog1(2x23x1)的递减区间为

(1，＋∞)

211111x>1或x<在(1，＋∞)上是增解析

由2x2－3x＋1>0，得x>1或x<，易知u＝2x2－3x＋1221函数，而y＝log1

(2x2－3x＋1)的底数0<<1，所以该函数的递减区间为(1，＋∞)．

22

5．函数ylog1(x26x17)的值域是

(－∞，－3]. 2解析

令u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又y＝log1

u在[8，＋∞)上为减函数，所以y≤log1

228＝－3. 6．已知函数f(x)log4x x0x2 x0，则f(f(4))f(log2)＝__8__. 16解析

f(f(－4))＝f(24)＝log416＝2，

111－log2∵log2<0，∴flog26＝26＝2log26＝6，

61log2＝2＋6＝8. 即f(f(－4))＋f67．已知f(x)log2(x2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值为__7__. 解析

由已知得f(m)＋f(2n)＝log2(m－2)＋log2(2n－2)＝log22(m－2)(n－1)，又f(m)＋f(2n)＝3，所以log22(m－2)(n－1)＝3，即2(m－2)(n－1)＝23＝8，因此(m－2)(n－1)＝4，所以m＋n＝(m－2)＋(n－1)＋3≥2m－2n－1＋3＝2×2＋3＝7，

当且仅当m－2＝n－1＝2，即m＝4，n＝3时取等号．

二、解答题

8．若g(x)loga(x2ax) (a0且a1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．

解析

①若0

∴y＝x2－ax在[2,3]上应为减函数．

aa∵对称轴为x＝，∴≥3，a≥6，不成立．

22a②若a>1，则y＝logax为增函数，∴y＝x2－ax在[2,3]上为增函数，∴≤2，a≤4；

2

又∵x2－ax>0，∴当x＝2时，y＝x2－ax的最小值也要大于0，

∴4－2a>0，a<2，∴1

9．已知函数f(x)loga(x1)

(a1)，若函数yg(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．

（1）写出函数g(x)的解析式；

（2）当x[0,1)时，总有f(x)g(x)m成立，求m的取值范围．

解析

(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，因为点Q(－x，－y)在f(x)的图象上，所以－y＝loga(－x＋1)，即y＝－loga(1－x)(x<1)．

所以g(x)＝－loga(1－x)(x<1)．

1＋x(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m. 1－x1＋x设F(x)＝loga，x∈[0,1)．

1－x由题意知，只要F(x)min≥m即可．

因为a＞1，故F(x)在[0,1)上是增函数，所以F(x)min＝F(0)＝0. 故m的取值范围是(－∞，0]．

10．

已知函数f(x)log1(x22ax3)，是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增2函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由．

1解析

令g(x)＝x2－2ax＋3，∵0<<1，∴要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－2a≥2，a≥2，∞，2)上为减函数，且恒大于0，因此即a无解．

g2≥0，7－4a≥0，

所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数．