3.4.1 函数与方程名师教学视频（文字实录）

§3.4.1函数与方程

---------方程的根与函数的零点

教材分析：

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，得用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

1.

知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。

2.

过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。培养学生函数和方程结合思想的能力。

3.

思想方法：培养学生从特殊到一般的思想，方程与函数的思想，数形结合的意识与思想。

重点、难点、关键点：

1．重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。

2．难点：理解探究发现函数零点的存在性。理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。

3．关键点：帮助学生寻找方程和函数图象之间的联系。

教学方法和手段：

教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）

教学手段：教学软件PPT和几何画板辅助教学。

教学过程及构思: 一、引入课题

通过学生感兴趣的话题，引入课题，激发他们进入课堂的求知欲。

二、旧知切入

拿出三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象，通过学生对旧知识的熟练掌握程度，轻松

切入，激发学生探究问题的兴趣。

完成表(一)，

一元二次方程

方程的二次函数

函数的图象

根

（简图）

yx22x3

x22x30

yx22x1

x22x10

x22x30

yx22x3

图象与x轴

交点的坐标

方程的根和函数图象与x轴交点的坐标之间的关系

知识由浅入深，从特殊到一般过渡，学生容易接受方程的根与对应函数的之间关系。

(表二)

ax2bxc0

方程的根

(a0)函数yax2bxca0

的图象（简图）

图象与x轴

的交点

x1,0

方程的根和函数图象与x轴交点的坐标之间的关系

0

0

0

无实根

从上面两个表格，通过数形结合，从而形象地引入函数零点的定义。

1.函数的零点的定义

对于函数yf(x),我们把 叫做yf(x)的零点. 三者之间的关系：互为等价关系

为了检查学生对零点的定义与求零点方法的掌握情况，拟定下面几个练习题。（1）题是对零点的定义的考察，（2）题是求零点的方程法，(3)题拔高难度，引入分类讨论思想，（4）题为后面的探究奠定基础。

2、沙场点兵

1、函数y=x22x3的零点是（ ）

A、

-1,0，3,0 B、

-1

C、3 D、

-1,3 (2)、求下列函数的零点. f(x)x2x6f(x)2x2① ②

(3)、若函数f(x)=ax2-x+1仅有一个零点,

则实数a=______. (4)求函数f(x)lnx2x6的零点个数．

为了生动形象地体现函数零点存在性定理，我特设计了下面一个小实验。实验的重点是体现函数的

连续性与函数的两个端点的函数值异号。另外，为了让学生更好地操作实验，我又设计了3个点。

3、实验

把绳子的一端固定在P点,另一端在直线上Q点或M点,并随意摆放绳子,探究以下问题: (1)另一端在Q点时,绳子在[a,b]上是否与x轴一定有交点？

(2)另一端在M点时,绳子在[a,b]上是否与x轴一定有交点？

(3)把绳子看作是函数在[a,b]上的图象，函数图象的端点在什么情况下，函数必存在零点？

(4)如何用f(a)、f(b)的值刻画（3）中的情况？

(5) 剪断绳子，（3）中的结论是否还成立？

让学生从实验的结果中找出构成函数零点存在性定理要点，更直观形象，也更容易激发学生的求知欲。

4、零点存在性定理

新知:

如果函数yf(x)在区间[a，b]上的图像是

，并且满足 ，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的根. P(a,f(a))

a 0 b y l M Q(b,f(b))

x

例题的设计是紧紧围绕函数零点存在性定理展开的，一是从表格，二是从函数的图像直观地找到零点的个数。也为后面的练习做好铺垫。

5、例题讲解

例1、求函数f(x)lnx2x6的零点个数．

拟定下面两个练习的目的，一方面巩固函数零点存在性定理，另一方面也是训练函数与方程互相转换的思想，如（2）小题。

6、

新知应用，巩固深化

(1)、已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

23

9

－7

11

－5

－12

－26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有

（

）

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

(2)、方程x 3 +3x -5=0的根所在的区间为（

）

A．(– 2，0)

B．(0，1)

C．(1，2)

D．(2，3)

7、我的收获

8、作业布置：

1、课本P88练习1 12、(1)、函数f(x)x1的零点所在的大致区间是（

）

x

C.3,4

D.4,5

A.1,2

B.2,3(2)、若方程2ax2x10在0,1内恰有一解，则a的取值范围是（

）

A.a1

B.a1

C.1a1

D.0a1

9、板书设计

课题：方程的根与函数的零点

1、函数零点的定义

方程x 3 +3x -5=0的根所在的区间为

2、求函数零点的方法：

解析：

方程法

图像法

3、函数零点存在性定理