3.3 幂函数第一课时导学案

3.3

幂函数

课标知识与能力目标

1.

了解幂函数的概念；

2.

结合五种常见类型的幂函数图像，探讨其性质；

3.

掌握幂函数的图像和性质

知识点1 幂函数

1.幂函数的定义：一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. 注意：（1）幂函数的特征是以幂的底x为自变量，指数为常数；

（2）所有的幂函数在区间(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)；

（3）学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点：

①形如y(2x),y2x,yx2,形式的函数不是幂函数；

②幂函数yx中的为任意实数；

③确定一个幂函数，只需求出即可.

2.幂函数的图像：我们只讨论幂函数yx中1,2,3,,1时的图象.

在同一平面直角坐标系作出幂函数yx,yx2,yx3,yx,yx1的图象.

（1）列表，描点，连线，用光滑的曲线将各点连结起来，如图：

（2）记熟上面各函数图象的形状，及它们之间的“高低”关系；

（3）函数y12121可记为yx1；

x（4）a0时，图象都过(0,0)(1,1)点，a0时，只过(1,1)不过(0,0)点.

3.幂函数的性质

从上图可以观察到幂函数的特征如下：

特

征

性

质

函

数

yx

yx

2yx

3yx

12yx1

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

R

R

[0,)

偶

R

[0,)

{x|xR,x0}

R

奇

增

(1,1) (0,0) R

奇

增

(1,1) (0,0) [0,)

非奇非偶

增

(1,1) (0,0) {y|yR,y0}

奇

x[0,)时，增

x(,0]时，减

(1,1) (0,0) x(0,)时，减

x(,0)时，减

(1,1) 结合以上特征得幂函数的性质如下：

（1）所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)；

（2）如果0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0,)上为增函数；

（3）如果0，则幂函数的图象在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；

（4）当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶函数，幂函数为偶函数.

考点1：幂函数的概念

例1 下列函数中：①y=1x;②y=3x-2;③y=x+x;④y=x2是幂函数的个数为

.

3423

例2 下列说法不正确的命题的序号是

.

①幂函数一定是奇函数或偶函数

②任意两个幂函数图象都有两个以上交点

③如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同

④图象不经过（-1，1）的幂函数一定不是偶函数

考点2：幂函数的图象

例1 如图，幂函数yxa在第一象限内的图象，已知a取2,值，则相应于曲线C1,C2,C3,C4的a依次为

____

，

，

，

．

例2 已知幂函数yxm6(mZ)与yx2m(mZ)的图象都与x、y轴都没有公共点，且

yxm2(mZ)的图象关于y轴对称，求m的值．

1四个2

1例3 幂函数yf(x)的图象过点(4,)，则f(8)的值为

.

2

a例4 设x∈(0, 1)，幂函数y＝x的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是

．

例5 点(2,2)在幂函数f(x)的图象上，点(2,)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有f(x)＞g(x),f(x)g(x),f(x)＜g(x).

14

考点3：求幂函数的定义域、值域

幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．

例1 函数y(x2x)

例2 若幂函数f(x)的图象经过点(3,)，则其定义域为

．

例3 已知函数y＝415－2x－x2．求函数的定义域、值域．

考点4：幂函数的单调性和奇偶性

幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有时也用幂函数的性质加以判断.

例1 yxa

例2 函数y＝x的单调递减区间为

.

例3 函数y＝x12－m－m2212的定义域是

．

1924a9是偶函数，且在(0,)是减函数，则整数a的值是

.

25在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．

例4 函数f(x)(m2m1)xmm________.

例5 幂函数f(x)(t3t1)x

例6 已知幂函数f(x)=xm222m3是幂函数，且在x(0,)上是减函数，则实数73t2t25是偶函数，且在(0,)上为增函数，求函数解析式. 2m3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.

（1）求函数f(x)；

（2）讨论F(x)a

考点5 比较大小

f(x)b的奇偶性.

xf(x)比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”法.

0.4例1 比较下列各组数的大小：

(a2)

a；

(5a)

5；

0.40.5

0.5.

323222323

例2 比较下列各组数的大小：

1032331.51.71.1())，（1），，1；

（2）(，；

721313224

（3）3.8，3.9，(1.8)；

（4）3

-2325351.4，51.5.

能力提优

题型1：幂函数性质的综合应用

例1 已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)是：（1）幂函数；（2）幂函数，且是(0,)上的增函数；（3）正比例函数；（4）反比例函数；（5）二次函数.

例2 一个幂函数y＝f

(x)的图象过点(3, 427)，另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8,－2), （1）求这两个幂函数的解析式；

（2）判断这两个函数的奇偶性；

（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集.