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第8讲函数与方程知识梳理; 1．函数的零点(1)定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3
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3.4.1 函数与方程ppt课件教学实录
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第8讲
函数与方程
知识梳理; 1．函数的零点
(1)定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
课前小练：
1．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
要点整合：
1．必明辨的2个易错点
(1)函数的零点不是点．
(2)f(a)·f(b)<0是连续函数f(x)在(a，b)内存在零点的一个充分不必要条件．
2．常用的2个结论
对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：
(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；
(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．必会的1种方法
对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
课前练习：
x（x＋4），x<0，1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为________．
x（x－4），x≥0，
2．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是________．
3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________．
4．已知2 考点： 二次函数零点的分布 (1)已知α、β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的两个实根，且α<2<β，求m的取值范围． (2)若方程x2＋ax＋2＝0的两根都小于－1，求a的取值范围． 本题为二次函数有关零点的问题，常结合二次函数的图象及有关方程的知识解决．方程根的问题也往往转化为相应的函数图象的交点问题，因而数形结合是常用的解法． 关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时： (1)有两不同正根； (2)不同两根在(1，3)之间； (3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1，3)内有且只有一解．
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