2.2.1 函数的单调性优秀公开课教案

高一年级数学组9月集体备课

1.3.1函数的单调性

中心发言人：董建猛

组员：刘建军

陈爱琳

自伟

张霞

【教学目标】

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

【教学重点难点】

重点：函数的单调性及其几何意义．

难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

1．

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：随x的增大，y的值有什么变化？

2．

画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1） f(x)=x+1 从左至右图象上升还是下降 ______? 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -x+2 从左至右图象上升还是下降 ______? 在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．

（3）f(x) = x2

在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

3、从上面的观察分析，能得出什么结论？

学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变

化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规

1

律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知

1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？

学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：

函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 .即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

2．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

3、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

注意：

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

4．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单

调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

2

解：略

例2.求证：函数fxx解：设x1x20,1则

10,1，在区间上是减函数

xfx1fx2x1 x1x2

11x2x1x2x2x1x1x21 x1x21xx12x1x21 x1x2x1x2

x1x2 x1x20 x1x20,1 x1x20

x1x210

fx1fx20

fx1fx2

fxx1在区间0,1上是减函数。

x点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①

任取x1，x2∈D，且x1

②

作差f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

变式训练3.：画出反比例函数y这个函数的定义域是什么？

它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

四、归纳小结

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借1的图象． x

3

助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取

值

→

作

差

→

变

形

→

定

号

→

下结论

板书设计: 一、

函数单调性

二、

典型例题

例1： 作业布置:完成本节课导学案

课后反思:

例2：

4