2.1.2 函数的表示方法教案和学案内容

2.1.2

函数的表示方法

教学目标：1．明确函数的三种表示方法；

2．会根据不同的实际情景选择适合的方法表示函数；

3．渗透属性结合的思想．

一、问题情景

课本第21页上三个函数问题在表示方法上有什么区别？

二、学生活动

问题1：观察三个函数问题，你能说出各种函数表现形式上的各自优点吗？

解：

列表法：用列表表示函数，不必通过计算就可知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；

解析法：解析式表示函数有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；

图象法：用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况，有利于我们通过图象研究函数的某些性质．

问题2：是不是任何一个函数都可以用解析式来表示？

解：不一定．如课本第21页问题3，某市一天24小时内的气温就不能用时间t的解析式表示出来．

问题3：同一个函数是否可以同时用以上三种方法表示？

解：不一定．例如函数y2x(xR)就不可以用列表法表示，同样也不是所有函数都有解析式．

问题4：比较以上三种表示函数的方法，你能说一下它们各自的缺点吗？

缺点：列表法只能表示一些自变量值很少的函数，有很大的局限性；

解析法不能表示每一个函数，而且不能直观地观察到函数的变化规律；

图象法不能很精确到求出某一自变量对应的函数值．

三、建构数学

1、函数的三种表示方法

（1）用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．

例如:学生的身高 单位：厘米

学号

身高

1 125 2 135 3 140 4 156 5 138 6 172 7 167 8 158 9 169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的，公共汽车上的票价表．

（2）用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法，这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．

例如，

s60t2，sr2，y=ayx22x3，yx2(x2)等都是用解析式表示函数关系的.

（3）用图象表示两个变量之量的函数关系的方法称为图象法．

例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的．

2．分段函数的概念

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，象这样的函数通常叫做分段函数.

2x1,1x5【思考】已知函数f(x)2则f(x)的定义域为

，f(2)

，

f(2)

，f[f(2)]

.

x,3x1,答案：[3,5)，3，4，7.

四、数学运用

【例1】购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x1,2,3,4)的函数,并指出该函数的值域.

解析：（1）解析法：y2x,(x1,2,3,4).

（2）列表法：

表2-1-2 x／听

1 2 2 4 3 6 4 8 y／元

（3）图象法：图象由点(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)组成，如图2-1-11所示，函数的值域为2,4,6,8. 【例2】某市出租汽车收费标准如下:在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费,超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出收费额关于路程的函数解析式. 解：设路程为xkm时，收费额为y元，则由题意得：当x3时，y7；当x3时，按2.4元/km所收费用为2.4(x3)，那么有y72.4(x3). 7, 0

72.4(x3), x37, 0

2.4x0.2, x3【练习】

国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封xg(0x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像

解：这个函数的定义域是x0x100，函数的解析式为：

y40032024016080,x(0,20],160,x(20,40],y240,x(40,60],

320,x(60,80],400,x(80,100].这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.

【例3】画出函数f(x)|x|的图象，并求f(3),f(3),f(1),f(1)的值. 8020406080100xx,x0解析：因为f(x)x，

x, x0所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线，如图所示．

1 O y1 x

其中f(3)3,f(3)3,f(1)1,f(1)1．

【练习】画出函数f(x)|x1||x2|的图象．

解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：

yx2(2x1)3

yx1x2=

2x1

2x1x1作出图像如右图所示：

五、巩固练习：

1．已知一次函数f(x)满足f(2)5,f(0)1，则函数f(x)的解析式为 . 2．某地长途电话x分钟的电话费为f(x)1.06(0.75[x]1)元，其中[x]是大于或等于x的最小正整数，按此规定，5.3分钟的话费是 ．

3．已知函数h(x)|2x1|,(3x1)，则其值域为 . O xx21,(x0)4．已知f(x)，若f(m)10,则m

.

2x,(x0)0,(x0)5．已知f(x),(x0)，则fff(1) . x1,(x0)6．画出下列函数图象，并求其值域．

x2（1）f(x)x2x[2,1)x[1,)； （2）f(x)x22|x|1．

答案：1.

f(x)3x1；2.

5.83元；3.

[0,5]；4.

3或5；5.

1；6. (1) [4,)；(2) [0,)．