3.3 幂函数教学教案设计

3.3《幂函数》

一、知识点

1.幂函数定义：

yx 其中x是自变量，是常数. 特征： 底数是变量，指数是常数，系数为1． ．

2.

幂函数与指数函数的对比：

解析式

幂函数:yx

指数函数：yax

自变量位置

底数

指数

常量范围

可取一切实数

a0且a1

注：判断一个函数是幂函数还是指数函数的方法：看看自变x是底数还是指数。

二、随堂练习：

下面我们一起来看看幂函数与指数函数的对比：

首先从解析式结构看，幂函数的自变量x在底数位置，指数函数的自变量x在指数位置；

因此判断一个函数是幂函数还是指数函数的方法：看看自变x是底数还是指数。

其次我们再看看常数的范围，幂函数的常量可以取一切实数，而指数函数的常量a0且a1，两者有明显的差异。

讲解随堂练习：

1、

下列函数：①y＝0.2x；②yx0.23；③yx；④

y3x2；⑤

y2x；⑥yx

x其中是幂函数的有

②④

（写出所有幂函数的序号）; 2、已知幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则f(x)x(x0)；

3、如果函数f(x)(m2m1)xm2142m3是幂函数，则实数m2或1 . 注：可以先检验2或1，再总结其实可以不检验。

三、幂函数的图象与性质

例1、写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性.

定义域

奇偶性

yx

R 奇函数

yx2

R 偶函数

yx3

R 奇函数

yx

12yx1

yx0

0,

非奇非偶

,0(0,)

,0(0,)

奇函数

偶函数

探究1、在同一坐标系内画出幂函数yx0，yx，yx2，yx，yx1图象。

图象特征：

1、所有的幂函数都过点（1,1）

2、第四象限都没有图象，第一象限都有图象；

3、幂函数图象的分布情况由幂函数的定义域和奇偶性来决定。

探究2、用几何画板画出幂函数在第一象限内的图象，改变的值，在动态的变化过程中，观察、分析幂函数的图象，总结幂函数共同特征：

12

解题技巧：在(1,)上任取一点作x轴的垂线，与幂函数yx的图象交点越高，的值就越大.

四、例题讲解

例1、如图，曲线C1,C2,C3,C4分别是幂函数yxa,yxb,

yxc,yxd在第一象限内的图象，则a,b,c,d由小到大为________

例2、画出函数yx的图象，并指出其单调性. 23

总结出画幂函数图象的方法：

1.利用“还原根式”求幂函数定义域；2、先画出幂函数在第一象限内的图像；3、根据定义域、奇偶性得出其它象限内的图像。

53练习：请你画出函数yx的草图，指出其单调性. 引申1、比较下列各组数中两个值的大小

(1)5.2与5.3

（2）(0.72)与(0.75)

思考：若m4532323535332m，求实数m的取值范围

2m22m353逆向思维：将上面的随堂练习3、如果函数f(x)(mm1)x是幂函数，则实数m2或1 .加上条件：且在区间(0,)内是减函数，则实数m=

2

. 引申2、利用幂函数的图像解不等式x例3、已知函数f(x)xm式. 引申、若上述函数满足不等式f(m1)f(2m1)，求实数m的取值范围. 五、课堂小结

1.学习了幂函数的概念；2.利用“还原根式”求幂函数定义域的方法；

3.利用幂函数在第一象限内的图象特征，并会根据奇偶性完成整个函数的图象。

4.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小. 5．数学思想方法：

（1）归纳推理：特殊到一般；（2）类比推理：类比指数函数，研究幂函数；

（3）数形结合思想：以形助数，以数导形．

六、课后思考：你能从数的角度验证函数yx；yx；yx1232223x

532m3(mZ)是偶函数，且在(0,)上是减函数，求此函数解析的单调性吗？

七、课后作业：课本P73

习题2.4

第1,2,3,4,5题

白皮书《幂函数》