2.2.1 函数的单调性教案教学设计导入设计

函数单调性教学设计

温江二中

徐丽

【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第2节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

教学目标：

1．让学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】

函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】

归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。

3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

【学法分析】

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。

（一）问题情境

成都一天的气温变化。怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特征？

通过观察电梯，怎样用数学语言来刻画“随着时间的推移，高度逐渐升高或降低”这种现象。

（二）温故知新

1．课前预习1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？

例如：初中研究yx2时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大。

回忆初中对函数单调性的解释：

图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。

函数这种性质称为函数的单调性。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

（三）建构概念

问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？

对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

单调增函数的定义：

问题4：如何定义单调减函数呢？

可以通过类比的方法由学生给出。

设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

（四）理解概念

1．顾名思义，对“单调”两字加深理解

汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。

2．呼应引入，解决问题情境中的问题

如：y2x1的单调增区间是(,)；y3．单调性是函数的“局部”性质

1在(0,)上是减函数。

x11在(0,)和(,0)上都是减函数，能否说y在定义域xx

(,0)(0,上上减函数？)1引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x11,x2）。

2如：函数y

设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。

（五）运用概念

通过两例，教师要向学生说明：

1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格

按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。

2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。

《单调性》

曲线升降成单调，横向范围区间瞧。

一取二减三定号，因式分解不可少。

牢记区间不能并，任意取值才成立。

同增同减真君子，

此消彼长亦逍遥！

亦逍遥！

作业：

1、y(2k1)xb在-，是减函数，则

（

）

A

k1111

B

k

C k-

D k-

22222、函数yx26x10在区间2，4是

（

）

A 递减函数

B

递增函数

C

先递减后递增

D 先递增后递减

3、f(x)x2x,x2,3的递增区间为__________ 24、给出下列说法正确的有_____________：

①若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3),则函数f(x)在R上是增函数

②函数yf(x)在1，1，上是增函数，则函数的单调递增区间是

③设任意x1,x2a,b,若f(x)在a,b是增函数，则2f(x1)f(x2)0

x1x25、用函数单调性的定义证明函数f(x)x4x3在2，单调递增

（选作)用函数单调性的定义证明函数f(x)x在R上单调递增、3y(2k1)xb在-，是减函数，则

（

）

A

k1111

B

k

C k-

D k-

222226、函数yx6x10在区间2，4是

（

）

A 递减函数

B

递增函数

C

先递减后递增

D 先递增后递减

7、f(x)x22x,x2,3的递增区间为__________ 8、给出下列说法正确的有_____________：

①若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3),则函数f(x)在R上是增函数

②函数yf(x)在1，1，上是增函数，则函数的单调递增区间是

③设任意x1,x2a,b,若f(x)在a,b是增函数，则f(x1)f(x2)0

x1x29、用函数单调性的定义证明函数f(x)x24x3在2，单调递增

（选作)用函数单调性的定义证明函数f(x)x3在R上单调递增