实习作业第二课时教案

(建议用时：60分钟) 一、选择题

1.(2015·豫东、豫北十所名校联考)下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是(

) A.f(x)＝sin x

C.f(x)＝－|x＋1|

B.f(x)＝ln2－x

2＋x1x－xD.f(x)＝2(e－e) 解析

对于A，y＝sin x是奇函数，但它在[－1，1]上为增函数；对于B，由(22－x－x)(2＋x)＞0，得－2＜x＜2，所以f(x)＝ln的定义域是(－2，2)，关于原2＋x2＋x2－x2－x点对称，因为f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)＝ln是奇函数.2－x2＋x2＋x2－x4又t＝＝－1＋在区间[－1，1]上单调递减，故由复合函数的单调性可2＋x2＋x2－x知函数f(x)＝ln在区间[－1，1]上单调递减；对于C，f(x)＝－|x＋1|为非奇2＋x1非偶函数；对于D，f(x)＝(ex－e－x)是奇函数，但它在[－1，1]上为增函数，

2选B. 答案

B 2.(2015·洛阳统考)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象的对称轴方程是(

) A.x＝－1

1B.x＝－2

1C.x＝2

D.x＝1 解析

∵y＝f(2x＋1)是偶函数，∴其图象关于y轴，

1即关于x＝0对称，又f(2x＋1)＝f2x＋2，

1∴y＝f(2x)的图象可由y＝f(2x＋1)的图象向右平移2个单位得到，∴y＝f(2x)的1图象的对称轴方程是x＝2. 答案

C

3.(2016·长沙月考)已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)＞0，那么实数m的取值范围是(

) 5A.1，3

C.(1，3)

5B.－∞，3

5D.3，＋∞

解析

∵f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，

∴－1＜x＜1，f(－x)＝－f(x).

∴f(m－2)＋f(2m－3)＞0可转化为

f(m－2)＞－f(2m－3)，f(m－2)＞f(－2m＋3)，

∵f(x)是减函数，∴m－2＜－2m＋3，

－1＜m－2＜1，5∵－1＜－2m＋3＜1，∴1＜m＜3.故选A.

m－2＜－2m＋3，答案

A 4.定义在R上的函数f(x)，对∀x1，x2∈R都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列命题正确的是(

) A.f(x)是偶函数

C.f(x)＋1是偶函数

B.f(x)是奇函数

D.f(x)＋1是奇函数

解析

取x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，所以f(0)＝－1.取x1＝x，x2＝－x，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)＋1，即f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以f(－x)＋1＝－[f(x)＋1]，所以函数f(x)＋1是奇函数，故选D. 答案

D 5.(2016·重庆一中月考)若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)＞0，f(x＋2)＝1对任意x∈R恒成立，则f(2 015)＝(

) f（x）A.4

B.3

C.2

1，

f（x）11＝f(x)，

f（x）D.1 解析

因为f(x)＞0，f(x＋2)＝所以f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝1＝f（x＋2）即函数f(x)的周期是4.所以f(2 015)＝f(504×4－1)＝f(－1).

因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 015)＝f(－1)＝f(1).

当x＝－1时，f(－1＋2)＝11，得f(1)＝.

f（－1）f（1）又f(x)＞0，得f(1)＝1，所以f(2 015)＝f(1)＝1. 答案

D 6.(2015·长春外国语学校期中)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(x＋1)＝f(1－x)，若f(1)＝5，则f(2 015)＝(

) A.5

B.－5

C.0

D.3 解析

∵定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x＋1)＝f(1－x)，

∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，

即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

即f(x＋4)＝f(x)，∴函数的周期为4，

∴f(2 015)＝f(4×504－1)＝f(－1)＝－f(1)，

∵f(1)＝5，∴f(2 015)＝－5.故选B. 答案

B 二、填空题

7.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，3则f2＝________. 33111解析

f2＝f－2＝f2＝2＋1＝2. 3答案

2

8.(2015·长春质检)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________. 解析

由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，

∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞).

答案

(－∞，1]∪[3，＋∞) 9.(2016·云南适应性考试)若函数f(x)＝2x＋sin x对任意的m∈[－2，2]，有

f(mx－3)＋f(x)＜0恒成立，则x的取值范围是________.

解析

易知f(x)是R上的奇函数，由f′(x)＝2＋cos x＞0，知f(x)为增函数，

∵f(mx－3)＋f(x)＜0可变形为f(mx－3)＜f(－x)，

∴mx－3＜－x，∴mx－3＋x＜0.

设g(m)＝x·m－3＋x，由题意知当m∈[－2，2]时，g(m)＜0恒成立，则当x≥0时，g(2)＜0，即2x－3＋x＜0，则0≤x＜1；当x＜0时，g(－2)＜0，即－2x－3＋x＜0，则－3＜x＜0.∴所求的x的取值范围是(－3，1).

答案

(－3，1) 三、解答题

10.已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数. 证明

已知对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，不妨取x＝0，

y＝0，则有2f(0)＝2[f(0)]2，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1. 取x＝0，得f(0＋y)＋f(0－y)＝f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y)＝2f(y). 所以f(y)＝f(－y).又y∈R，所以函数f(x)是偶函数. 11.设函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0，7]上只有f(1)＝f(3)＝0. (1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论. 解

(1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0，7]上只有f(1)＝f(3)＝0，

又∵f(2－x)＝f(2＋x)，令x＝－3，f(－1)＝f(5)≠0，

∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1).∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. (2)f(10＋x)＝f[2＋(8＋x)]＝f[2－(8＋x)]＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋13＋x] ＝f(20＋x)，∴f(x)以10为周期. 又f(x)的图象关于x＝7对称知，f(x)＝0在(0，10)上有两个根，

则f(x)＝0在(0，2 005]上有201×2＝402个根；

在[－2 005，0]上有200×2＝400个根；因此f(x)＝0在闭区间上共有802个根. 12.(2016·合肥模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且当2x－1x∈(0，1)时，f(x)＝x. 2＋1

(1)求f(x)在区间[－1，1]上的解析式；

(2)若存在x∈(0，1)，满足f(x)＞m，求实数m的取值范围. 解

(1)当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1).由f(x)为R上的奇函数，

2－x－11－2x2x－1得f(－x)＝－f(x)＝－x＝，即f(x)＝x，x∈(－1，0). 2＋12x＋12＋1又由f(x)为R上的奇函数，得f(0)＝0，

∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴当x＝0时，f(1)＝f(－1). 又∵f(－1)＝－f(1)，∴f(－1)＝0，f(1)＝0，

2x－12x＋1，x∈（－1，1），故f(x)在区间[－1，1]上的解析式为f(x)＝

0，x∈{－1，0，1}.2x－12x＋1－22(2)∵f(x)＝x＝x＝1－x. 2＋12＋12＋1120，又x∈(0，1)，∴2∈(1，2)，∴1－x∈. 32＋1x11若存在x∈(0，1)，满足f(x)＞m，则m＜3，故实数m的取值范围是－∞，3. 