复习参考题教案3

第12讲函数与方程

教学目标

1.

知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系；培养学生的观察能力；会用二分法求函数的零点；培养学生的抽象概括能力；

2.

过程与方法：通过观察二次函数的图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。

3.

情感态度与价值观：在函数与方程的联系中体现数学中的转化思想的意义和价值。

教学重点：零点的概念和存在性的判断；

教学难点：零点的确定和二分法

教学过程：

1．函数的零点1对于函数yfx，我们把使①__________叫做函数yfx的零点．2方程fx0有实根函数yfx的图象②______函数yfx③__________.3如果函数yfx在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且④__________，那么，函数yfx在区间(a，b)内有⑤______，即存在c(a，b)，使得⑥__________，这个c也就是方程fx0的根．

例题1.

1试判断函数f(x)＝2x＋ln(1－x)在区间(1－e，1－e)内是否有零点，

并说明理由．

【解析】由1－x>0，得x<1，所以函数的定义域为(－∞，1)．

又f(1－e)＝2(1－e)＋lne＝3－2e<0，

111e－2f(1－e)＝2(1－e)＋lne＝e>0. 1即f(1－e)·f(1－e)<0，

1所以函数在区间(1－e,1－e)内至少有一个零点．

练习：

21、函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致x区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)

2、函数f(x)3ax12a在区间[1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是例题2.

方程exkx0在区间[k,2k](其中k1)的根个.

的个数是【分析】方程根的个数，可转化为函数f(x)＝ex－k－x的零点区间讨论．

解：令f(x)＝ex－k－x，又k>1，

则f(k)＝e0－k＝1－k<0，f(2k)＝ek－2k. 设g(k)＝ek－2k，g′(k)＝ek－2>e1－2>0，

所以当k>1时，g(k)为增函数，所以g(k)>g(1)＝e－2>0，

所以f(2k)＝ek－2k>0，即f(k)·f(2k)<0，所以f(x)在[k,2k]上是增函数，

所以f(x)＝ex－k－x在[k,2k]上仅有一个零点，

即方程ex－k－x＝0在区间[k,2k](k>1)上只有一根．

【点评】(1)函数零点存在问题常用方法有三种：一是用定理；二是解方程；三是用图象．需特别注意的是，零点存在性定理是充分条件，而非必要条件，且只能判断有零点，而个数不能确定，常需单调性结合判断．

(2)函数图象的交点个数及方程根的个数，有时需转换为函数零点问题，通过零点存在性定理判断．

练习：

3、方程0.9x－x＝0的实数解的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3

4、设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数不存在零点的是(

) A．[－4，－2]

B．[－2,0]

C．[0,2]

D．[2,4] 2．二分法1对于在区间[a，b]上连续不断且fafb0的函数yfx，通过不断地把函数fx的零点所在区间⑦__________，使区间的两个端点逐步逼近⑧__________，进而得到零点近似值的方法叫做⑨__________.

2给定精确度e，用二分法求函数fx的零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间[a，b]，验证fafb0，给定精确度e；第二步，求区间(a，b)的中点c，；第三步，计算fc；ⅰ若()fc0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若fafc0，则令bc(此时零点x0(a，c))；(ⅲ)若fcfb0，则令ac(此时零点x0(c，b))．第四步，判断是否达到精确度e：即若abe，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．

例题3.

(1)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f(1)＝－2

f(1.5)＝0.625

f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260

f(1.4375)＝0.162

f(1.40625)＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为(

) A．1.2

B．1.3 C．1.4

D．1.5 (2)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(

) A．f(x)＝4x－1

B．f(x)＝(x－1)

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1C．f(x)＝e－1 D．f(x)＝ln(x－2) x练习：

115、二分法研究函数f(x)＝x2＋ln(x＋2)的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(2)>0，可得其中一个零点x0∈______，第二次计算______，以上横线应填的内容为(

) 111A．(0，2)，f(2)

B．(0,1)，f(2) 1311C．(2，1)，f(4)

D．(0，2)，f(4)

函数零点的综合应用：已知函数f(x)x8x,g(x)6lnxm是否存在实数m,使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

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