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第三章

函数的应用

检测试题

(时间:120分钟

满分:150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.函数f(x)=xln x的零点为( B ) (A)0或1 (B)1 (C)(1,0) (D)(0,0)或(1,0) 解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞), 由f(x)=0得x=0或ln x=0, 即x=0或x=1. 又因为x∈(0,+∞), 所以x=1.故选B. 2.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,6),(2,4)内,那么下列命题中正确的是( D ) (A)f(x)在区间(2,3)内有零点

(B)f(x)在区间(3,4)内有零点

(C)f(x)在区间(3,16)内有零点

(D)f(x)在区间(0,2)内没零点

解析:由于函数y=f(x)的零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,6)内,因此函数零点在区间(0,6)内,又函数零点在(2,4)内,因此函数零点不可能在(0,2)内,故选D. 3.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( A ) (A)y=2x

(B)y=10 000x

(C)y=log3x (D)y=x3

解析:随着x的增大,指数函数的增长速度是最快的, 故选A. 4.若函数f(x)=x2+4x+a没有零点,则实数a的取值范围为( B ) (A)(-∞,4) (B)(4,+∞) (C)(-∞,4] (D)[4,+∞) 解析:由题意知关于方程x2+4x+a=0,Δ=42-4×1×a<0,即16-4a<0,解得a>4.故选B. 5.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是( B )

解析:兔子在中间一段时间内路程是不变的,且当乌龟到达终点时兔子还差一点,选B. 6.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数,现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)=20+2x+x2(万元),若售出一件商品收入是20万元,那么该企业为获取最大利润,应生产这种商品的数量为( A ) (A)18件

(B)36件

(C)22件

(D)9件

解析:设获取的利润为y, y=20x-c(x) =20x-20-2x-x2

=-x2+18x-20. 所以x=18时,y有最大值.故选A. 7.函数f(x)=2x-x2的零点个数为( D ) (A)0个

(B)1个

(C)2个

(D)3个

解析:由题意可知:要研究函数f(x)=2x-x2的零点个数,只需研究函数y=2x和y=x2的图象交点个数即可,画出函数y=2x,y=x2的图象,由图象可得有3个交点,如第一象限的A(2,4),B(4,16)及第二象限的点C.故选D.

8.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)=3x+x3-5.则函数y=f(x)的零点的个数为( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:当x>0时,f(x)=3x+x3-5为增函数, 因为f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0, 函数在(1,2)上存在一个零点,结合奇函数的对称性可知在(-2,-1)上有一个零点,

又f(0)=0,所以函数有3个零点

9.记[x]表示不超过x的最大整数,如[1.3]=1,[-1.3]=-2.设函数f(x)=x-[x],若方程1-f(x)=logax有且仅有3个实数根,则正实数a的取值范围为( B ) (A)(3,4] (B)[3,4) (C)[2,3) (D)(2,3] 解析:由题意得,方程1-f(x)=1+[x]-x, 所以方程1-f(x)=logax有且仅有3个实数根, 即1+[x]-x=logax有且仅有3个实数根, 即函数y=1+[x]-x和函数y=logax的图象有三个不同的交点,分别作出两函数的图象,如图所示,

要使得函数y=1+[x]-x和函数y=logax的图象有三个不同的交点, 则loga3≤1, 且loga4>1, 解得3≤a<4,故选B. 10.定义域为R的函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+bf(x)+ c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f(x1+x2+x3+x4+x5)的值等于( B ) (A)4lg 2 (B)3lg 2 (C)2lg 2 (D)lg 2 解析:由f(x)解析式知,f(x)关于x=2对称.

因关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有五个不同实数根,不妨设有三个解x1,x2,x3使f(x)=1, 有两解x4,x5使f(x)≠1, 则x1=2,x2+x3=4,x4+x5=4, 则x1+x2+x3+x4+x5=10, 所以f(x1+x2+x3+x4+x5)=lg 8=3lg 2.故选B. 二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分) 11.函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,则另一个零点是

,增区间为

.

解析:依题意得x1·x2=-6,所以x2=1, 所以f(x)=x2+5x-6=0的两根为1,-6, 故1为函数的另一个零点, 由对称轴为x=-, 所以增区间为[,+∞). 答案:1 [,+∞) 考点:本题考查函数的零点与方程根的联系. 12.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是

(填正确 序号)

①(-2,-1) ②(-1,0) ③(0,1) ④(1,2)

解析:由f(-2)=-2-2<0,f(-1)=-3<0, f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2+2-2>0知函数零点所在的一个区间是(0,1). 答案:③

13.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y(小时)与储藏温度x(℃)的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在10 ℃的环境中保鲜时间约为64小时,在5 ℃的环境中保鲜时间约为80小时,那么在0 ℃时保鲜时间约为

小时.

解析:由题意知则a5=,k=100. 故当x=0时,y=k·a0=100. 答案:100 14.若f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则a的取值范围是

.

解析:函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数,如图,由函数的图象可知当a>1时两函数图象有两个交点,当01.

答案:(1,+∞)

15.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2

,n=

.

解析:因为21+3-b =4-b>0, 即f(2)·f(3)<0, 易知f(x)在(0,+∞)上单调递增. 所以函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0, 且x0∈(2,3), 所以n=2. 答案:(0,+∞) 2 16.若f(x)=x2+bx+c,g(x)=bx2+cx+1,b,c∈R,有且只有一个实数满足f(x)=g(x). (1)则b,c应满足的条件为

;

(2)当b<0时,f(x)≥|g(x)|恒成立,则b的取值范围为

.

解析:(1)(1-b)x2+(b-c)x+c-1=0, 1-b=0时,(1-c)x+c-1=0,1-c≠0时,只有一解x=1,当1-c=0,有无数

个解; 1-b≠0时,Δ=(b-c)2-4(1-b)(c-1)=(b+c-2)2=0,得b+c=2; 综上b,c应满足的条件是b=1,c≠1或b+c=2,b≠1; (2)当b<0时,c=2-b,

所以f(x)=x2+bx+2-b, g(x)=bx2+(2-b)x+1, 设g(x)的两个零点为x1,x2(x1

得1-≤b<0. 综上,b的取值范围是[1-,0). 答案:(1)b=1,c≠1或b+c=2,b≠1 (2)[1-,0) 17.(1)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足10,则实数a的取值范围为

.

(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为

.

解析:(1)由题意得a>-对1

又-=-2(-)2+,<<1, 所以(-)max=, 所以a>.即实数a的取值范围为(,+∞). (2)2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立. 当x=0时,适合; 当x≠0时,a<(-)2-, 因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 当x=1时,右边取最小值,所以a<. 综上,实数a的取值范围是(-∞,). 答案:(1)(,+∞) (2)(-∞,) 三、解答题(共74分) 18.(本小题满分14分) 设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2. (1)求函数f(x)的表达式; (2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域. 解:(1)因为函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2, 所以有a≠0,且

解得

所以f(x)=-3x2-3x+18. (2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18 =-3(x+)2++18, 所以f(x)的图象的对称轴为x=-. 又0≤x≤1,所以f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18, 所以函数f(x)的值域是[12,18]. 19.(本小题满分15分) 为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y=x2-50x+900,且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品,同时获得国家补贴10万元.当x∈[10,15]时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损? 解:设处理量x吨(10≤x≤15)时,利润为P万元, 根据题意得

P=(10+10)x-y=20x-x2+50x-900 =-x2+70x-900 =-(x-35)2+325,x∈[10,15]. 因为x=35∉[10,15], P=-(x-35)2+325在[10,15]上为增函数,

可求得P∈[-300,-75]. 所以当x∈[10,15]时,该项举措不能获利,国家只需要补贴75万元,该工厂就不会亏损. 20.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求实数k的值; (2)设函数g(x)=log4(a·2x-a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围. 解:(1)由题意知,任意x∈R,有f(-x)=f(x), 则f(-1)=f(1), 即log4-k=log45+k, 所以2k=-1, 所以k=-. (2)因为函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点, 所以方程log4(4x+1)-x=log4(a·2x-a)有且只有一个实根, 化简得,方程2x+=a·2x-a有且只有一个实根, 令t=2x>0, 则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根. ①当a=1时,t=-不合题意;

②当a≠1时, (i)若Δ=0,则a=或-3. 若a=,则t=-2不合题意; 若a=-3,则t=合题意; (ii)若Δ>0即a<-3或a>时, 由题意,方程有一个正根与一个负根,即解得a>1. 综上所述,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞). 21.(本小题满分15分) 某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时,本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)元成反比例.又当x=0.65时,y=0.8. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)] 解:(1)因为y与(x-0.4)成反比例, 所以设y=(k≠0). ,k=0.2, <0, 把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=

所以y==, . 即y与x之间的函数关系式为y=(2)根据题意, 得(1+)·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%), 整理,得x2-1.1x+0.3=0, 解得x1=0.5,x2=0.6. 经检验x1=0.5,x2=0.6都是方程的根. 因为x的取值范围是0.55～0.75, 故x=0.5不符合题意,应舍去.所以x=0.6. 即当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 22.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=|2-|(p为大于0的常数). (1)求函数f(x)在[1,4]上的最大值(用常数p表示); (2)若p=1,是否存在实数m使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb],如果存在求出实数m的取值范围,如果不存在说明理由. 解:(1)x∈[1,4],函数f(x)=当>4时, 即p>8,f(x)的最大值为f(1)=p-2;

当1≤≤4时, 即2≤p≤8,f(1)=p-2,f(4)=2-; 若8≥p≥,f(1)≥f(4), f(x)的最大值为f(1)=p-2; 若2≤p<,f(1)0, 又ma≥0,所以a>0, 当0

由题意得得-=m(b-a),

=mb代入得-2=,a无解. 当a≤≤b时,ma≤0与m>0,a>0矛盾. 当≤a

即2-=mx(x≥)有两个不同的实数解. 法一

m=-+, 令t=,t∈(0,2], 则m=-t2+2t有两个解,得m∈(0,1). 法二

由2-=mx可化为mx2-2x+1=0, 要使得方程有两个不等的实根, 令g(x)=mx2-2x+1, 则函数应满足

得m∈(0,1).