习题2.1主要内容及教案内容

2.1.2 指数函数及其性质

第1课时

教学设计

教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．

学生学习情况分析

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．

设计思想

1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．

2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：

(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．

(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．

3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．

教学目标

根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同

1

时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．

重点难点

教学重点：指数函数的的概念和性质．

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质

教学过程

一、创设情境、提出问题(约3分钟) 1．

西游记后传中八戒对悟空说：“我一次性投资你1个亿，咱们兄弟就不讲利息了！你就按这样的方式还给我：若第一天还，你就还我2块钱；若第二天还，你就还我4块钱；若第三天还，你就还我8块钱；以后不管哪天还都要是前一天的两倍。意思一下就算了，不过我今天要外出旅游至少30天，你现在也缺钱，就从30天以后再考虑还我吧。”

(1)

悟空该不该答应？

(2)

思考：若用y表示第x天的还钱数，那么y和x有什么关系？

2.一尺之木，日取其半！

（1）

第一次取完剩多少？第二次、第三次、第四次…第x次呢？

（2）思考：若用y表示第x次取完剩的尺数，那么y和x有什么关系？

设计意图

用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．

二、师生互动、探究新知

问题：上面的两个函数有什么共同特征？

新课教学

一：指数函数的概念

一般地，形如____________________的函数叫做指数函数，其中x是自变量。

设计意图

引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生发现这两个函数是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．

师：如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y＝ax的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．

2

让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．

对于底数的分类，可将问题分解为：

1①若a＜0，会有什么问题？(如a＝－2，x＝2，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a＝0，会有什么问题？(对于x≤0，ax都无意义) ③若a＝1又会怎么样？(1x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要) 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a＞0且a≠1. 设计意图

①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；

②讨论出a＞0，且a≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．

接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师写出一些解析式让学生判断练习：

下列函数中，哪些是指数函数

. (1)y4x；(2)yx4；(3)y4x；(4)y(4)x；(5)yx；(6)yxx；(7)y3ax(a0且a1)。

例1.函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值，并写出这个指数函数(约8分钟)．

学情预设

学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．

设计意图

加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解． 2．指数函数的性质

在同一坐标系中作函数y2x和y3x的图象.学情预设

11在同一坐标系中作函数y()x和y()x的图象.23 考虑到学生自己画需要较长时间所以教师带着学生一起画，画完之后再小组合作讨论总结

问题一：图象分别在哪几个象限？

问题二：图象的上升、下降与底数a有联系吗？

问题三：图象中有哪个特殊的点？

学情预设

通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解． (3)交流、总结(约10～12分钟)

3

教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？

师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔1如过定点(0，1)，y＝ax与y＝ax的图象关于y轴对称〕

设计意图

1、让学生汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；

2、对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．

教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝ax的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．

师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．

图象

0＜a＜1

定义域

值域

过定点(0,1)[

性质

非奇非偶

在R上是减函数

小结：今天大家学到了什么？

作业：课本58页1、2、3题； 59页5、6题。

4

a＞1 R

(0，＋∞) 在R上是增函数