实习作业教学内容

数学中的转换思想在解题中的应用

河北大城一中 刘卫东

摘要：数学高考命题中，经常会出现由代数相机和转换、由代数项解析几何的转换、由不等式向图形转换，同一问题不同思想的转化，这些都体现了转换思想的作用，本文通过代数问题向最基本函数定的转换，立体几何中的等面积、等体积、向量问题的转换，代数问题向解析几何的转换，充分展现了转思想的妙用，从中启发学生在学习中探讨，探讨中转换，学会知识点，在解题过程中找到利用转思想解决问题的快感，从中掌握所学知识，灵活运用。

关键字：代数问题几何化，代数问题定义化回归，代数问题解析化，转化思想。

正文：

从近些年高考数学试题中，我们发现高考考查学生的思维能力的力度在加大，其中转化思想在考试中就是其充分的体现，而转化思想是研究和解决有关数学问题时采用某种手段，其目的是将问题通过变化使之转化，进而得到解决问题的一种有效的途径和方法，转换思想一般总是将复杂的通过变化化为简单的问题，将难解的问题通过变换化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题，从中使问题快速简单的解决，转化思想可以使学生的思维能力得到提升，更能使学生思考问题的能力加强和升华。本文通过转化思想将代数问题几何化，代数问题解析几何化，代数问题转换到最初的函数定义去解决，代数问题不等式化，几何问题代数化，当然转思想可以应用到各个领域，本文通过简单的数学问题问题的应用，体现转思想在解题中的精髓，从而开拓学生的思维能力，让学生从转化思想中体会其内涵，在轻松快乐中学习。

通过近几年的高考不难发现，多省市都在考察函数的奇偶性的判断，利用函数的奇偶性和周期性求函数值，并与函数的单调性交会求解简单的方程与不等式，函数的单调性与函数图象变化结合考察，求解这类问题务必要注意转换思想的灵活运用。

对于函数问题万变不离其宗

，抓住函数的三要素，即定义域、值域，对应关系一切问题就区域一般化，解体的模式都大同小异，解题的步骤也差不多，都是先找定义域

，对应关系，求值域，判断函数的单调性，函数的奇偶性。但是转化思想在数学解题中也有着不可忽视的关键作用。著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时

提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程，利用转化思想可以将函数的奇偶性的问题简单化，进而达到理解层面。

下面通过具体的例子来阐述

转换思想在解函数问题中的应用. 利用函数最基本的定义来解决。

在同一对应关系f的作用下函数的定义与相同，即f(x)与f(g(x))都在f的作用下x与g(x)的范围一样大，进而在求函数的定义域。我们可以通过同一对应关系下里解决与函数有关不等式、等式问题，再利用函数的奇偶性完成问题的解决。

例如：设偶函数f(x)满足f(x)x38

(x0)则x|f(x2)0_______ A.x|x2,或x4 B.x|x0,或x4

C.x|x0,或x6 D.x|x2,或x2

1>利用函数最基本的定义来解决。

在同一对应关系f的作用下函数的定义与相同，即f(x)与f(g(x))都在f的作用下x与g(x)的范围一样大，进而在求函数的定义域。我们可以通过同一对应关系下里解决与函数有关不等式、等式问题，再利用函数的奇偶性完成问题的解决

分析：f(x)与f(x2)的对应关系都是f，利用同一对应关系f的作用下括号里的范围一样大来解答。（注意：x与x2的范围一样大。）

解析一：当x0时，由f(x)x38>0得 x38>0 即x>2 又f(x)是R下的偶函数

当x0时，f(x)>0解为 x<-2 在R下f(x)>0解集为x|x2或x2

又f(x)与f(x2)的对应关系都是f

由f(x2)>0得x2>2或x2<-2 x>4或x<0 f(x2)>0的解集为x|x0,或x4

2>利用函数平移来解决

利用函数的图像关系解决问题，注意到函数f(x)与f(x2)在同一对应关系f，注意到可以通过函数图像平移得到解答，并且是对x左右平移，必须明白对x左右平移是左+右-。

解析二：当x0时，由f(x)x38>0得 x38>0 即x>2 又f(x)是R下的偶函数

当x0时，f(x)>0解为 x<-2 在R下f(x)>0解集为x|x2或x2

函数f(x)与f(x2)在同一对应关系都是f，f(x)的图像向右平移2个单位就会得到f(x2)的图像，既然函数图象整个移动，则对应的f(x)的解集也向右平移2个单位就会得到f(x2)的解集，即f(x)>0的解集x|x2或x2向右平移2个单位得到f(x2)>0的解集x|x4或x0。

3>利用函数奇偶性的性质完成(f(x)f(x)) 分析：由函数f(x)与f(x2)在同一对应关系都是f，函数f(x)是偶函数，根据偶函数的性质f(x)f(x)来完成解答，同时还要利用函数的单调性解决。（注意尤其是对抽象函数解决不等式经常用此式来解答。如若偶函数f(x)在(,0)内单调递减，则不等式f(1)f(lgx)解集是___。）

解析三：当x0时，f(x)x38

f(x)在[0,)是增函数，且f(2)0

f(x2)>f(2) ------------------------①

又f(x)是偶函数

由①得f(x2)f(2)x22

解之得x4或x0

f(x)的解集为x|x0,或x4

解答此题易错提示：（1）将f(x2)盲目代入解析式f(x)x38，忽视定义域的限制，无解而终。

（2）挖掘不出题目的隐含条件，f(2)0以及f(x)在[0,)上的单调性，不能有单调性脱掉“f”。

（3）不能灵活运用偶函数的性质f(x)f(x)，简化运算

防范措施：

（1）要解决f(x2)>0,需要将对应关系“f”去掉，注意到f(x)x38（x0)，f(2)0，将f(x2)>0转化为f(x2)>f(2)，为利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系创造了条件；

（2）注意到f(x2)可由f(x)的图像左右平移得到，数形结合可由f(x)>0解集，得f(x2)>0的解集。

明白了函数中同一对应关系f下，括号里的范围一样大，得到问题的解决，这也就体现函数定义的转化解决问题的优点，通过函数的平移、对称变化转换问题，从而在轻松快乐中解决问题。

二、立体几何中的转换思想

空间立体几何问题对于距离，有点到面的距离，线到面的距离，线到线得距离，面到面的距离，而近几年立体几何对于距离已经趋向于简单化，只要求点到面的距离，对于点到面的距离，转化为点和垂足之间距离，或者转化为直线上一特殊点到平面的距离，或者转化为三棱锥问题中的距离，利用等体积转换求，还可以利用等面积求。

例：已知ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，PDAD,PD=AD=2，二面角P-AD-C为600，则点C到平面PAB的距离为______ 方法一：利用等体积转换

分析： 要求点到面的距离，发现由A,B,C,P四点能够成三棱锥，想到求距离可以转化为利用等体积求距离。

P D E C 解析一：过点P作PECD于E,

PDAD, CDAD

AD平面PCD

ADPE PE平面ABCD

0又二面角P-AD-C为60

PDE为二面角的平面角

0即PDE=60

很容易的:PE=3

A B

由SABP

SABC

1727 21222得：

2

VCPAB1SPABh 3 17h VCPAB7h 331123  又 VPABCSABCPE23 333

由

VCPABVCPAB得 7h23 33  h221221 由此得C到平面PAB距离为

37方法二：利用等面积转换

P 分析：通过图形发现直线CD//平面PAB,则直线CD上所有的点到平面PAB的距离相等,即C点到平面PAB的距离等于E点到平面PAB的距离。可以利用等面积求解

D F E A G B 解析二：由解析一知道

的中点C PE平面ABCD,取ABG，连接EG,过E作EFPG于F 由PE平面ABCD得

PEAB ABEG AB平面PEG ABEF EF平面PAB SPEG11EGPE=PGEF

22又PG=7,PE=3， EG=2  EF=237221

7221 7即C点到平面PAB距离就等于E点到平面PAB的距离= 当然，点到面的距离也可以利用空间向量公式来求。

方法三：利用向量公式求解转换

Bn

A

如图所示，已知点B(x0,y0,z0)，平面上一点A(x1,y1,z1)，平面

的一个法向量n，由数量积的定义知，nABnABcos，其中

n,AB，则ABcosnAB，所以ABcos就是点B到平面n的距离，即

nAB

d

n

防范措施：（1）求解距离要注意体积的高的找法，即：线面垂直。

（2）等面积求距离一定要找到转换的一个三角形。

（3）利用空间向量距离公式求解距离要注意加绝对值。

三、解析几何中的转换思想

例如：在ABC中，|BC|=8，|AB|+|AC|=10，求ABC面积的最大值。

分析：在三角形中，同学们很容易想到解三角形，利用正余弦定理解决计算量很大，还不容易找到正确的解答方案。利用转换思想可以很轻松的得到解答方案，分析本题满足

椭圆的定义，利用椭圆的方程解答，很容易找到三角形的最大的高，问题就会得到解答。

（错解）解析一：在ABC中，由条件得：a8，bc10

有均值定理得：10bc2bc即bc25

当且仅当bc4bc取最大值

A

B D C (SABC)max18312

2错误辨析：在运用重要不等式时，注意到了均值定理“=”成立的条件得到该三角形为等腰三角形，但是不能保证是面积最大的三角形

，这就是学生经常出错的地方，也是学生对均值定理理解不到位，这样就要求我们要帮助学生充分

理解转换思想的好处。下面通过代数问题解析几何化来体现转化思想。

解析二：由题意发现本题建立适当的坐标系利用解析几何可以将问题解决，从而使问题简单化。

由|AB|+|AC|=10>|BC| 则A点满足椭圆的定义。

以BC所在的直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，建系如图：

则B,C为椭圆的两个焦点， B (-4,0) C(4,0) y P Bx2y2设椭圆的方程为221(ab0) abA由题意得：a5,c4则

b3

x2y21(除长轴端点）

椭圆方程为：259

Cx

由椭圆的性质的，当A点运动到短轴端点处时，三角形ABC的面积最大，即

SABC最大值18312

2 通过将代数问题想到圆锥曲线可以使问题简单化，来转换问题，得到三角形顶点问题的轨迹是椭圆（除长轴端点），由椭圆的图形，利用数形结合得到三角形的高的最大值是短半轴（椭圆自身的性质），由此得到三角形的面积的最大值，通过此问题的解决，体现了转换思想的妙处。

将代数问题转换为解析几何的方法体现了转换思想的优点，利用转思想充分体现了数形结合思想的转换问题。

综上，转换思想在高中阶段占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化，如未知向已知转化、新知识向就只是转换、复杂问题向简单问题的转换，不同的数学问题之间的转化，实际问题向数学问题的转换，各种变换等，各种变化、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学内容和解题过程中，转换思想在本文中得到很好地诠释，希望通过本文让同学们能够更好

地利用转换思想思考问题，解决问题，使学生的思维能力得到进一步的升华。

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