习题1.2教学实录及点评

1．2.1

函数的概念

1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)

[基础·初探] 教材整理1

函数的相关概念

阅读教材P15～P17“思考”，完成下列问题．

函数的有关概念

定义前提条件给定两个集合A，B为非空数集对应关系错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!函数值的集合错误!

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(

) (2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(

) (3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(

) 【解析】

(1)×.任何两个非空数集之间都可以建立函数关系．

1

(2)×.根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应．

(3)×.在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集．

【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

教材整理2

区间的概念与表示

阅读教材P17“思考”以下至“例1”以上部分，完成下列问题．

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a＜b，规定如下：

定义

{x|a≤x≤b}

{x|a＜x＜b}

名称

闭区间

开区间

符号

[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

数轴表示

{x|a≤x＜b}

半闭半开区间

{x|a＜x≤b}

半开半闭区间

2.特殊区间的表示

定义

符号

R

(－∞，

＋∞)

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x＞a}

(a，＋∞)

{x|x≤a}

(－∞，a]

{x|x＜a} (－∞，a) 填空：

(1)集合{x|1

(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；

(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．

【答案】

(1)(1,3]

(2)(－2，＋∞)

(3)(－∞，2] 教材整理3

函数的三要素及函数相等的条件

阅读教材P18例1以下至例2以上部分，完成下列问题．

1．构成函数的三要素为定义域、对应关系和值域．

2．判断两个函数相等，需同时具备以下两个条件：

(1)定义域相同；

(2)对应关系完全一致．

2

下列函数中，与f(x)＝x＋2相等的是(

) A．g(x)＝x＋2

C．F(x)＝(x＋2)2

2x＋22B．h(x)＝

x＋23D．G(x)＝x＋23

【解析】

g(x)＝x＋22＝|x＋2|与f(x)的对应关系不一致；h(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，与f(x)的定义域(－∞，＋∞)不同；F(x)的定义域为[－2，＋∞)与f(x)的定义域不同，故选D. 【答案】

D

[小组合作型]

函数的概念

(1)下列四个图象中，不是函数图象的是(

)

(2)下列各组函数是同一函数的是(

)

【导学号：97030025】

①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；

②f(x)＝x与g(x)＝x2；

1③f(x)＝x0与g(x)＝x0；

④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②

B．①③

C．③④

D．①④

3

(3)判断下列对应是否为函数：

2①x→y，y＝x，x≠0，x∈R，y∈R；

②x→y，y2＝x，x∈N，y∈R；

③x→y，y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；

1④x→y，y＝6x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}．

【精彩点拨】

(1)函数的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项即可得出答案．

(2)结合函数的三要素逐一判断．

(3)利用函数的定义判定．

【自主解答】

(1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B. (2)①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．

1③f(x)＝x0与g(x)＝x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．

④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．

由上可知是同一函数的是③④. 故选C. 【答案】

(1)B

(2)C (3)①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．

②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．

③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．

1④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，6x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．

4

1．判断一个对应关系是否为函数的步骤

(1)判断A，B是否是非空数集；

(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；

(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．

2．判断函数是否相同的步骤

(1)看定义域是否相同；

(2)看对应关系是否相同；

(3)下结论．

[再练一题] 1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？

(1)f：把x对应到3x＋1；

(2)g：把x对应到|x|＋1；

1(3)h：把x对应到x；

(4)r：把x对应到x. 【解】

(1)是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x＝－1时，有3x＋1＝－2与之对应．

同理，(2)也是实数集R上的一个函数．

1(3)不是实数集R上的一个函数．因为当x＝0时，x的值不存在．

(4)不是实数集R上的函数．因为当x<0时，x的值不存在．

求函数值

已知函数f(x)＝(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f(g(2))的值．

【精彩点拨】

求f(m)的值，直接把m代入解析式即可．注意第(2)小题求1(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．

1＋x5

f(g(2))，可以看成是求以g(2)为自变量的f(x)的函数值．

【自主解答】

(1)f(2)＝1(2)f(g(2))＝f(6)＝7.

1．f(x)表示自变量为x的函数，如f(x)＝2x－3，而f(a)表示的是当x＝a时的函数值，如f(x)＝2x－3中f(2)＝2×2－3＝1. 2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外的原则．

[再练一题] 2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值.

【导学号：97030026】

【解】

f(1)＝13＋2×1＋3＝6；

f(t)＝t3＋2t＋3；

f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；

f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.

求下列函数的定义域．

(1)f(x)＝1；

x－2求函数的定义域

11＝3，g(2)＝22＋2＝6. 1＋2(2)f(x)＝3x＋2；

(3)f(x)＝x＋1＋1. 2－x【精彩点拨】

根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．

【自主解答】

(1)∵x≠2时，分式1有意义，∴这个函数的定义域是x－2{x|x≠2

}. 6

2(2)∵3x＋2≥0，即x≥－3时，根式3x＋2才有意义，

2∴这个函数的定义域是xx≥－3

. x＋1≥0x≥－1(3)∵要使函数有意义，必须⇒∴这个函数的定义域是2－x≠0x≠2，

{x|x≥－1且x≠2

}.

求函数的定义域应关注四点

1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. 2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．

3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

[再练一题] 3x23．函数y＝＋(2x＋1)0的定义域为(

) 1－2x1A.xx<2



11B.xx<2且x≠－21C.xx>2







11D.xx≤2且x≠－2



7

1－2x>0【解析】

要使函数有意义，则

2x＋1≠0，1即x<2，

111x≠－2，即x＜且x≠－，

22

11x<且x≠－故函数的定义域为x22

，

故选B. 【答案】

B [探究共研型]

求抽象函数的定义

域

探究1

(1)设函数f(x)＝x，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？

【提示】

(1)f(x＋1)＝x＋1.令x＋1≥0，解得x≥－1，所以f(x＋1)＝x＋1的定义域为[－1，＋∞)．

(2)函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)．

探究2

若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是什么？函数y＝f(x)的定义域是什么？

【提示】

这里的“[1,2]”是自变量x的取值范围．因为x∈[1,2]，所以x＋1∈[2,3]，所以使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是[2,3]，所以函数y＝f(x)的定义域是[2,3]．

(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；

(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2,3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域．

8

【精彩点拨】

(1)由函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x－3≤3即可．

(2)由函数y＝f(2x－3)的定义域，先求函数y＝f(x)的定义域，再求函数y＝f(x＋2)的定义域．

【自主解答】

(1)因为函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，即x∈[－2,3]，函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，所以－2≤2x－3≤3，11解得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－3)的定义域为2，3. (2)因为x∈[－2,3]，所以2x－3∈[－7,3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7,3]，

令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9,1]．

若已知函数y＝fx的定义域为[a，b]，则函数y＝fgx的定义域可由a≤gx≤b解得；若已知函数y＝fgx的定义域为[a，b]，则函数y＝fx的定义域为函数y＝gx在x∈[a，b]的值域.

[再练一题] 4．已知函数f(x)的定义域为[2,6]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋x－3的定义域为________.

【导学号：97030027】

2≤x＋1≤6【解析】

由题意可得解得3≤x≤5，所以g(x)的定义域为x－3≥0，[3,5]．

【答案】

[3,5]

1．下列图象中表示函数图象的是(

) 9

【解析】

根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C. 【答案】

C

2．下列函数中，与函数y＝x相等的是(

)

A．y＝(x)2

C．y＝|x|

B．y＝x2

3D．y＝x3

【解析】

函数y＝x的定义域为R；y＝(x)2的定义域为[0，＋∞)；y＝x23＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝x3＝x，且定义域为R.故选D. 【答案】

D 3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(

)

【导学号：97030028】

A．{－1,0,3}

C．{y|－1≤y≤3}

B．{0,1,2,3} D．{y|0≤y≤3} 【解析】

当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．

【答案】

A 4．函数f(x)＝x－4＋1的定义域是________．

x－51，

x－5【解析】

∵函数f(x)＝x－4＋10

x－4≥0∴解得x≥4，且x≠5，

x－5≠0，∴函数f(x)的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．

【答案】

[4,5)∪(5，＋∞) 15．已知函数f(x)＝x＋x，

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(2)的值；

(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．

【解】

(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，

∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(2)f(－1)＝－1＋115＝－2，f(2)＝2＋2＝2. －11. a＋1

(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋

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