阅读与思考 集合中元素的个数课堂实录【1】

第三课时

一元二次不等式解法(二) 教学目标：

会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解，简单分式不等式求解；通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力，渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力，渗透等价转化与分类讨论思想. 教学重点：

一元二次不等式的求解. 教学难点：

将已知不等式等价转化成合理变形式子. 教学过程：

Ⅰ.复习回顾

试回忆一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0)的解的情况怎样？

对于上述问题，提醒学生借“三个二次”分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集，学生可归纳：

（1）若Δ＞0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2}，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x1＜x＜x2}. (2)若Δ＝0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有bb两个相等的实数根，x1＝x2＝－

，那么不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x≠－

}，不等2a2a式ax2＋bx＋c＜0的解集是. （3）若Δ＜0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点，即方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是. 若a＜0时，可以先将二次项系数化成正数，对照上述（1）（2）（3）情况求解. 教师归纳：一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”“数形结合”及“化归”的数学思想. Ⅱ.题组训练

题组一：（x＋a）(x＋b)＞0，（x＋a）(x＋b)＜0的解法探讨. 1.（x＋4)(x－1)＜0

2.(x－4)(x＋1)＞0 3.x(x－2)＞8

4.(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0 此题组题目可以按上节课的解法解决，但若我们能注意到题目1、2不等式左边是两个x的一次式的积，而右边是0，不妨可以借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化并求出结果. 对于题目1、2学生经过观察、分析，原不等式可转化成一次不等式组，进而求出其解集的并集. x＋4＞0x＋4＜01.解：将（x＋4)(x－1)＜0转化为

或

x－1＜0x－1＞0x＋4＞0x＋4＜0由{x|

}＝{x|－4＜x＜1}，{x|

}＝

x－1＜0x－1＞0得原不等式的解集为{x|－4＜x＜1}∪＝{x|－4＜x＜1}

x－4＞0x－4＜02.解：将(x－4)(x＋1)＞0转化为

或

x＋1＞0x＋1＜0x－4＞0x－4＜0由{x|

}＝{x|x＞4}，{x|

}＝{x|x＜－1} x＋1＞0x＋1＜0得原不等式解集为{x|x＞4}∪{x|x＜－1}＝{x|x＞-4或x＜－1} 对于题目3、4，教师引导学生，利用基本知识，基本方法将其转化成左边是两个x的一次式的积，右边是0的不等式，学生可顺利获解. 3.解：将x(x－2)＞8变形为x2－2x－8＞0 ∴（x－4）(x＋2)＞0 x－4＞0x－4＜0∴{x|

}＝{x|x＞4}，{x|

}＝{x|x＜－2} x＋2＞0x＋2＜0∴原不等式解集为{x|x＜－2或x＞4} 4.解：将原不等式变形为

[（x＋1）＋4][(x＋1)－1]＞0，即x(x＋5)＞0 x＞0x＜0∴{x|

}＝{x|x＞0}，{x|

}＝{x|x＜－5} x＋5＜0x＋5＞0∴原不等式解集为{x|x＜－5或x＞0} 引导学生从特殊到一般归纳（x＋a）(x＋b)＞0与（x＋a）(x＋b)＜0的解法：将二次不等x＋a＞0x＋a＜0式（x＋a）(x＋b)＞0转化为一次不等式组

或

；(x＋a)(x＋b)＜0转化为一x＋b＞0x＋b＜0x＋a＞0x＋a＜0次不等式

或

.

x＋b＜0x＋b＞0x＋a x＋a题组二：

＞0与

＜0的解法探索. x＋bx＋b1. 3. x－32

＜0

2.3＋

＜0 xx＋72－x43

＞

－3

4.

＞1 xx－33－x有了题组一的基础，学生通过观察、分析题组二题目的特点，结合初中学过的商的符号aa法则或结论“

＞0ab＞0及

＜0ab＜0”作为等价转化的依据，可以使题组二题目得bb解. x＋7＞0x＋7＜01.解：不等式可转化为

或

x－3＜0x－3＞0x＋7＞0x＋7＜0∴{x|

}＝{x|－7＜x＜3}，{x|

}＝

x－3＜0x－3＞0∴原不等式解集为{x|－7＜x＜3} 3x＋2＞03x＋2＜02.解：不等式可转化为

或

x＜0x＞03x＋2＞03x＋2＜02∴{x|

}＝{x|－

＜x＜0}，{x|

}＝

3x＜0x＞0

2∴原不等式解集为{x|－

＜x＜0} 32x－3＞02x－3＜02x－33.解：不等式可转化为

＞0，即

或

x－3x－3＞0x－3＜02x－3＞02x－3＜03∴{x|

}＝{x|x＞3}，{x|

}＝{x|x＜

} 2x－3＞0x－3＜03∴原不等式解集为{x|x＜

或x＞3} 23－x4.解：原不等式转化为

＞0 x3－x＞03－x＜0即

或

x＞0x＜03－x＞03－x＜0∴{x|

}＝{x|0＜x＜3}，{x|

}＝

x＞0x＜0∴原不等式解集为{x|0＜x＜3} x＋ax＋a继续引导学生归纳不等式

＞0,

＜0的解法. x＋bx＋bx＋ax＋a

＞0

(x＋a)(x＋b)＞0，

＜0

(x＋a)(x＋b)＜0 x＋bx＋b进而将其转化为一元一次不等式组求解. 题组三：含参数的不等式解法的探究. 1.解不等式x2＋(a2＋a)x＋a3＞0 ax2.不等式

＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a. x－1对于题目1，一般学生能将其等价转化成不等式（x＋a)(x＋a)2＞0，由于含有参数a，须对其进行分类讨论，可以让学生分组讨论求其解集的方法. 解：原不等式转化为（x＋a)(x＋a2)＞0 当－a＞－a2即a＞1或a＜0时，{x|x＞－a或x＜－a2} 当－a＝－a2即a＝0时，{x|x≠0}；a＝1时，{x|x≠－1}. 当－a＜－a2即0＜a＜1时，{x|x＞－a2或x＜－a} 对于题目2，重在考查学生的逆向思维能力，继续让学生仔细思考，深入探究，学生的思路可能会有如下两种：

解法一：将原不等式转化为

[（a－1）x＋1](x－1)＜0，即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0 1－a

＝21∴(1－a)x＋(a－2)x＋1＞0，依据与系数的关系得，

∴a＝ . a－22

＝3a－121解法二：原不等式转化为[（a－1）x＋1]·(x－1)＜0 ∵其解集为{x|x＜1或x＞2}

∴a－1＜0 ∴[(1－a)x－1](x－1)＞0

11∴2＝

∴a＝

21－a教师引导学生归纳：解含参数的一元二次不等式时，一般要对参数进行分类讨论，分类讨论取决于：

①由含参数的判别式Δ，决定解的情况. ②比较含参数的两根的大小；

③不等式的二次项系数决定对应的二次函数的抛物线开口方向. Ⅲ.课堂练习. 课本P73练习1，2 Ⅳ.课时小结

1.（x＋a）(x＋b)＞0与（x＋a）(x＋b)＜0型不等式的解法. 2. x＋ax＋a

＞0与

＜0型不等式的解法. x＋bx＋b3.含参数的一元二次不等式的解法. Ⅴ.课后作业

课本P73习题

4，5，6 补充：

1．解关于x的不等式：x2＋（m－m2）x－m3＞0. 解：将原不等式化成（x－m2）（x＋m）＞0，则

(1)当m2＞－m即m＞0或m＜－1时，解集为{x｜x＞m2或x＜－m} (2)当m2＜－m即－1＜m＜0时，解集为{x｜x＞－m或x＜m2} (3)当m2＝－m即m＝0或m＝－1时，解集为{x｜x≠0或x≠1} 从上可看到：上述问题的结论必须用分段的形式叙述，或所研究的对象全体不宜用同一方法处理的问题，可采用化整为零，各个击破，使问题获解.不妨再看如下题目，体会其思想方法. 2．解关于x的不等式ax2－2（a＋1）x＋4＞0. 解：当a＝0时，原不等式为一次不等式，即－2x＋4＞0，∴x＜2 当a≠0时，ax2－2（a＋1）x＋4＝0的判别式

2Δ＝4（a－1）2≥0，其二根x1＝2，x2＝

a于是有

2①当a＜0时，{x｜

＜x＜2} a2②当0＜a≤1时，{x｜x＜2或x＞

} a2③当a＞1时，{x｜x＜

或x＞2} a