习题2.1第二课时教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（1）

（一）教学目标

1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）能够正确运用根式性质进行化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用。2．过程与方法通过对恐龙化石视频的观看，对它的历史有了些了解。自然而然地引入C14的衰变问题，进而得到分数指数幂的原型。然后通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质。

3．情感、态度与价值观通过观看恐龙视频，感知恐龙的历史，激发学生探索数学知识的兴趣；通过与初中所学的知识（平方根、立方根）的比较，以及完成两个表格，自我探究或是讨论，归纳出所学知识的规律。并体会初中知识与高中知识其实是一个从浅至深的联系，又有一个质的飞跃区别。并逐步培养学生严谨的学习态度。

（二）教学重点、难点

1．教学重点：（1）n次方根与根式概念的理解；

（2）理解两个公式，并运用这两个公式进行根式的运算。2．教学难点：根式概念的理解与两个公式的推导过程。

（三）教学资源

计算机辅助系统。

（四）教学设计思路

本节是一堂概念课。为了增加课堂的趣味性，观看恐龙化石视频，引入根式的原型。为突破根式概念的理解这一难点，采用类比的方法，从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念。在讲解过程中，强调说明根式是n次方根的一种表示形式。并通过两个表格由学生自我建构根式性质的知识。接着通过例题讲解，基础训练，能力提升，来巩固知识。最后解答开篇之问。

1.本教学的开篇由视频引入。通过观看恐龙化石的视频，让学生对其有所了解以后，以问题：恐龙生活在哪个时间，自然地引入了根式的存在意义。

2.对于方根概念（知识探究一）的教学，采用的是从学生的最近发展区入题，即学生已经学过了平方根、立方根，然后由学生通过类比得到，4次方根，5次方根，6次方根的意义所在，最后由学生定义出n次方根的概念。

3.对于根式的性质（知识探究二）的教学，完全是由学生自主完成表格1，然后通过观察各行各列之间的关系得到根式的表示与性质。这表格中蕴含着一些还不能表示的数字，也可由学生自己大胆地猜想。最后通过xna与xna这两个式子中的不同字母的意义进行比较，得到根式其实是数的不同表现形式。在这学习活动中，学生体会了探究的乐趣，更有了一种跳一跳，够得到的感觉。

3.对于两个公式（知识探究三）的教学的设计，也是通过举例完成。由学生探究与讨论出先开方后乘方与先乘方后开方（a，nnn，它们之间的区别与联系。

an）4.例题、过关场的设计，就是通过基础题的训练，让学生学会用根式的性质来运算，化简。而角逐场的设计，就是通过能力提升题的训练，让学生体会到思维得到了提高，如从题目中寻找隐含条件，分类讨论思想等。

5.回到开篇提出的问题：(1)21000005730是什么意思？利用根式的性质来解释，不但是对开篇的释疑，也是对所学知识的运用，更为后续的内容学习作好了铺垫。

（五）教学过程

教学环节

问题引进

观看四川自贡恐龙化石视频

教学内容

师生互动

设计意图与活动评价

恐龙化石与我们的数学有何关系，引起求知兴趣。

问题提出

当恐龙死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”。根据此规律,人们获得了生物体内含量P与死亡年数t之间的关系是什么？

问题1 (1)当恐龙死亡了5730,5730×2,5730×3,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少? 问题2 (2)当恐龙死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少? 开篇之问

111那么，()5730,()5730,()2226000100001000005730生物体内含量P与死亡年数t之间的关系是t为出现分数整数幂作铺垫，也为学习根式作准备。

P(1)5730,t0。

211213,(),(),…

222正整数幂的出现，为后续作准备。

111()5730,()5730,()2226000100001000005730

引出分数指数幂存在的意义。

的意义是老师提出问题，

由实际问题引入，激发学生的学习积极性。

什么呢？这正是我们将要学习的知识。学生思考回答。

下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数。为此，需要先学习根式的知识。

复习引入

思考1:４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几学生回答：

学习新知前的1.2，不是，一个或两个。

简单复习，不仅能

个？

思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？

思考3:一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？

2.-3，是，一个。

3. 师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义。

若唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准x2a，则x叫做a的平方根。备。

同理，若xa，则x叫做a的立方根。

3形成概念

思考4:如果x4a,x5a,x6a,参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？

思考5:你准备如何定义a的n次方根？

老师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念。

n次方根：一般地，若由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力。

xna，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ

完成下列表格，你能得到什么结论？

0 64 -64 32 深化

概念

平方根

立方根

5次方根

学生答：

（1）0的任何次方根都为0。

（2）564

（3）a的奇次方根只有一个，记为na。

（4）

6次方根

通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根概念。

＊（1）

观察第二行，你能得到什么结论。

（2）

由D2受到启发，你准备怎么书写B3,C3,D4？

（3）

观察B2,B3,C2,C3,D2,D3，它们的共同点是什么？你能得到什么结论？并把它记为什么？

（4）

观察第二列与第五列，你能得到偶次方根有哪些情况吗？

na,a0

a的偶次方根为0,a0无意义,a0学生回答，老师补充：同个加深对根式的补充我们把式子na叫做根式。其中n称为

概念

根指数，a为被开方数。

根式与幂的联系。

思考：xn字母，却具有不同的意义。根指数与指数对应，被开方数与幂对应，根式与底对应。

理解。

a与axn两者中x,a,n各自承担的是什么角色？

完成下列表格，你能得到什么结论？。

323

3424

4525



这一行说明了什么？

432

525

2424

上面两个单元格说明了什么问题？

深化

通过上述表格，我们得到了两个重要公上面两个单元格说明了什么问题？

让学生对n为奇偶数进行充分讨论。通过探究得到：

通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握先乘方后开方或是先开方后乘方的符号问题。并学会用定义去解决问题。

举出实例，加深理解。

概念，式。你能证明这两个公式吗？

两个公式

小结：当n为偶数时，nan化简得到结n为奇数，nana；

果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误。

n为偶数,

na,a0。

an|a|a,a0理论迁移

例题：求下列各式的值

学生思考，口答，教师版演、点评。

通过例题的解答，进一步理解根(1)3(8)3

(2)(3)(4)

4(10)

nn应先写a|a|，然后再去绝2例题分析：当n为偶数时，式的概念、性质。

(3)4

(ab)2

对值。

解：(1)3(8)3= —8；

(2)(3)4(10)2=|—10|=10；

(3)4=3

；

(ab)2=ab

通过练习，尽快能灵活运用所学(4)过关场（课1.

填空。

练习分析：

1。注意指数的奇与偶。

堂练习）

(1)已知x62015,则x为?(2)已知x2015,则x为?2.

判断下列各式的正误。

5

（1）x62015

（2）x52015

2。注意被开方数的范围。

知识。

(1)na2b62na2b2

（1）对（2）错（3）对

3。注意指数的奇与偶和被开方数的范围。

（1）a2b

（2）21

(2)8(ab)8ab(3)6a6a603.

化简。

(1)8a88(ab)87(ab)7(a0,b0)(2)3223(12)34(12)4

角逐场（能力提升，成为备选）

1.

化简。

可以让学生一起竞技。

通过能力提升，让学生的能力有所发展。

a121a231a

3（1）a1

（2）先写成同一个根指数，即62.

比较下列各式的大小。

5,11,123

3.

已知ann3653,6112,6123，

而111235，所以23ann试探究此2a，6时实数a和正整数n应满足的条件。

1126123653。

（3）要对a的正负与n的奇偶作分类讨论。

a0,n为正整数；

a0,n为正偶数；

a0,n为正奇数，等式不成立。

解答开篇之问

（2）a412（1）a5105aa25aa

aa

312421055730125730121000001(1)57302100000

不但觖决了最初提的问题，也为434100000

下节课作好了铺垫。

（2）57301归纳

总结

2100000是什么意思？

先让学生独自回忆，然后师生共同总结。

引导学生记忆这些概念与1。方根的概念。

2。根式的概念。

3。根式的分类

通过小结使学生加强对知识的记忆，加深对数学思

若xna，则xn（an为奇数）

性质。

外时不变，

想方法的理解，养成总结的好习惯。

或xa(n为偶数)

4．掌握两个公式：n为奇数时,(na)n,

n内时分奇偶。

奇时不变，

偶时绝对值。

a(a0)

n为偶数时,a|a|a(a0)nn课后

作业

作业：2。1 第一课时

习案

学生独立完成

巩固新知

提升能力

（六）板书设计

1.

(1)5730是什么意思？

22.方根的概念

3.根式性质

4.两个公式

10000