小结主要内容及教案内容

必修一第一章

章末复习教案

集合的概念与运算

[问题展示]

(必修1P12习题1.1 B组T3)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B.

解：①当a＝3时，A＝{3}，B＝{1，4}．

所以A∩B＝∅，A∪B＝{1，3，4}．

②当a≠3时，A＝{3，a}，B＝{1，4}．

(ⅰ)当a＝1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}；

(ⅱ)当a＝4时，A∩B＝{4}，A∪B＝{1，3，4}；

(ⅲ)当a∉{1，3，4}时，

A∩B＝∅，A∪B＝{1，3，4，a}．

设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，

B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．

(1)若A∩B≠∅，求a的值；

(2)若A∪B＝{1，2，3，4}，求a的值；

(3)若A∩B＝∅，求a的范围．

解：(1)若a＝3时，A＝{3}，B＝{1，4}．A∩B＝∅.

所以a≠3，所以A＝{3，a}．

因为A∩B≠∅，所以a∈{1，4}．所以a＝1或4.

(2)若a＝3时，A＝{3}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，3，4}与A∪B＝{1，2，3，4}矛盾，故a≠3.

所以A＝{3，a}，所以A∪B＝{1，3，4，a}．

所以a＝2.

(3)当a＝3时，A＝{3}，B＝{1，4}，此时A∩B＝∅；

当a≠3时，A＝{3，a}．

由A∩B＝∅知，a≠1且a≠4.

所以a的范围为(－∞，1)∪(1，4)∪(4，＋∞)．

函数的图象与解析式

[问题展示]

(必修1 P39习题1.3 A组T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式．

解：画函数f(x)的图象．

第一步：作出f(x)＝x(1＋x)，x≥0的图象．

11因为f(x)＝x(1＋x)＝x2＋x＝(x＋)2－(x≥0)的图象如图1(实线部分)，即抛物线y＝(x2411＋)2－位于y轴右方(含原点)的部分．

24

第二步：因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以它的图象关于原点对称，因此将图1的实线(即f(x)＝x(1＋x)，x≥0的图象)关于原点对称后，即得函数f(x)在R上的图象(如图2)．

再求f(x)的解析式．当x<0时，－x>0，[来源学&科&网]

[来源:Z&xx&k.Com]因为x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．

所以f(－x)＝－x(1－x)．

又f(x)是定义在R上的奇函数．

所以f(－x)＝－f(x)．

所以－f(x)＝－x(1－x)．

即f(x)＝x(1－x)．

x(1＋x)，x≥0，所以f(x)的解析式为f(x)＝

x(1－x)，x<0，也可以写成f(x)＝x(1＋|x|)．

定义在R上的偶函数f(x)在y轴左方(含原点)的图象如图3所示，且解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x≤0)．

图3 (1)补全函数f(x)的图象；

(2)求出函数f(x)的解析式；

(3)讨论方程f(x)＝d的根的个数；

(4)作出y＝|f(x)|的图象．

解：(1)f(x)的图象如图4.

图4 c＝0－b＝－1a＝b2，即(2)由图象得2a.

11111a－b＋c＝4f(－2)＝442解之得a＝－1，b＝－1，c＝0.

所以当x≤0时，f(x)＝－x2－x.

f(0)＝0

当x>0时，－x<0.

所以f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.

又f(x)是偶函数，

所以f(－x)＝f(x)，

所以f(x)＝－x2＋x.

所以f(x)的解析式为

2－x－x，x≤0，f(x)＝2

－x＋x，x>0.也可以写成f(x)＝－x2＋|x|.

(3)由y＝d的图象(图略)，y＝f(x)的图象知(如图4)，

1当d>时，方程f(x)＝d无实根；

41当d＝或d<0时，方程f(x)＝d有两个实根；

4当d＝0时，方程f(x)＝d有三个实根；

1当0

4(4)y＝|f(x)|的图象如图5.

图5

函数的基本性质

1＋x2[问题展示]

(必修1 P44复习参考题

A组T8)设f(x)＝，求证：

1－x2(1)f(－x)＝f(x)；

1(2)f()＝－f(x)(x≠0)．

x

1＋x2证明：(1)因为f(x)＝的定义域为{x|x≠±1且x∈R}，

1－x2任取x∈{x|x≠±1且x∈R}，

1＋(－x)21＋x2有f(－x)＝＝＝f(x)，

1－(－x)21－x2

即f(－x)＝f(x)．

(2)任取x∈{x|x≠±1，x≠0且x∈R}，

1则∈{x|x≠±1，x≠0且x∈R}，

x11＋()22xx＋11＋x21所以f()＝＝＝－＝－f(x)．

x12x2－11－x21－()x1即f()＝－f(x)(x≠0)．

x

a＋x21已知f(x)＝2，对于定义域D内的任意x均有f()＋f(x)＝0恒成立．

xb－x(1)求a，b的值；

111(2)求f(－2)＋f(－3)＋…＋f(－100)＋f()＋f()＋…＋f()的值；

23100(3)当D＝R时，求证f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

a＋x21解：(1)因为f(x)＝2且对于定义域D内的任意x均有f()＋f(x)＝0恒成立．

xb－x1a＋2xa＋x2则＋＝0恒成立．

1b－x2b－2x即(b－a)x4＋(2ab－2)x2＋(b－a)＝0恒成立．

b－a＝0因为x≠0，所以.

2ab－2＝0所以a＝b＝1或a＝b＝－1.

1＋x2－1＋x21－x2(2)由(1)知，f(x)＝，或f(x)＝＝.

1－x2－1－x21＋x21＋x2当f(x)＝时，

1－x21＋(－x)21＋x2f(－x)＝＝＝f(x)．

1－(－x)21－x21－x2当f(x)＝时，

1＋x21－(－x)21－x2f(－x)＝＝＝f(x)．

1＋(－x)21＋x2所以f(－x)＝f(x)．

111所以f(－2)＋f(－3)＋…＋f(－100)＋f()＋f()＋…＋f()

23100

111＝f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(100)＋f()＝0×99＝0.

23100111即f(－2)＋f(－3)＋…＋f(－100)＋f()＋f()＋…＋f()＝0.

231001－x2(3)证明：当D＝R时，仅有f(x)＝，

1＋x2设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两数，且x1

1－x21－x2122(x2＋x1)(x2－x1)f(x1)－f(x2)＝－＝2.

1＋x21＋x2(1＋x2121)(1＋x2)因为x1，x2∈(0，＋∞)，

所以x2＋x1>0.

又x10.

2而且(1＋x21)(1＋x2)>0.

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

1－x2所以f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

1＋x2