探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教案设计（一等奖）

课题：互为反函数的函数图像间的关系教学设计

教材：人教版教材必修1 反函数（第二课时）

学校

教

学

目

标

黑龙江省伊春区第二中学

教师：张力仁

依据教学大纲、考试说明及学生的实际认知情况，设计目标如下：

1、

知识与技能：（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

2、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。

3、情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。

根据教学目标，应有一个让学生参与实践，发现规律，总结特点、归纳方法的探索认知过程。特确定：

重点：互为反函数的函数图像间的关系。

难点：发现数学规律。

重

点

难

点

教

学

结

构

创设情景，

引入新课

总结反思，纳入系统

提出问题，探究问题

布置作业，承上启下

习题精炼，

深化概念

教学过程设计

一、创设情景，引入新课

1、复习提问反函数的概念。

〇学生活动 学生回答，教师总结（1）用y表示x（2）把y当自变量还是函数

提出问题，探究问题

一、

画出y=3x-2(xR)的图像，并求出反函数。

●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？

〇学生活动 学生很容易回答

y2原函数y =3x-2中 反函数x3中

y:函数x：自变量 x:函数y：自变量

●引导设问2 原函数的点：(0,-2)、(1,1)、(2,4)、(3,7)……

反函数的点：(-2,0)、(1,1)、(4,2)、(7,3)……

引导设问3

点P(a,b) 与P′的坐标(b.a)关于直线____对称. ▲教师引导，活动：在一张白纸上绘制指数函数，然后将x，y轴对换，在背面形成了一个对数函数图像，并且用几何花板,演示指数函数与对数函数的图像的关系，总结互为反函数的两个函数图象关于y=x对称

二、引出新课

给出定理：

函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数的图象关于直线 y = x 对称。

练习1：

2 画出函数y=x(x∈[0,+∞))的图象，再利用对称性画出它的反函数的图象.

yyx2yxx

引导设问4：什么样的函数具有反函数？

▲教师引导学生总结 如果一个函数图像关于y=x对称后还能成为一个函数的图像，那么这个函数就有反函数，这个图像就是反函数的图像。这与反函数定义相对应。即定义域到值域的一一对应，这样的函数具有反函数，而单调函数具备这个特点，所以单调函数一定有反函数。

结论：只有一一对应构成的函数才有反函数. 我们利用互为反函数的函数图像间的关系来解决相应问题

例3、若点P（1，2）在函数 y=yaxb的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。

解：由题意知，P（1，2）在函数 yaxb

的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关yaxb于直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数

的图象上。因此，得

2ab解得，a=－3，b=7



12ab●三、习题精炼，深化概念

练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么y=f-1(x)–1的图象过点__________

练习3：如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于直线y=x对称，求a,b的值 -1练习4：已知函数 ，且它的反函数f(x)的图像过点（2，0），f(x)axb的图像经过点（1，3）求f(x). x5f(x)练习5：已知函数 的图象关于线y=x对称，求m的值. 2xm

▲

学生总结，教师补充

结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称。（2）一个函数若存在反函数则这两个函数互为反函数，若把其中一个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。

●四、总结反思，纳入系统：

1、原函数和反函数的关系

原函数和其反函数的图象关于直线y=x对称，

若两个函数的图象关于直线y=x对称，则它们互为反函数

2、不是所有的函数都有反函数，只有一一对应构成的函数才有反函数.

3、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。 思想总结：

由特殊到一般的思想，数形结合的思想

布置作业，承上启下

五、布置作业：练习册 55页3,4,5 六、板书设计：

课题：互为反函数的函数图像间的关系

1、

关于y=x对称

2、

只有一一对应的函数才有反函数

3、

如果一个函数关于y=x对称，可以说这个函数是它自身的反函数

4、

练习

5、

作业

●

课后反思：教材中对反函数（第二课时：互为反函数的函数图像间的关系）的处理是通过画几个特殊的函数图像得出一般结论的。我认为这样处理虽然可以使学生得出并记住这个结论，但学生对这个结论理解并不深刻。这样处理也不利于培养学生严密的数学思维。而我对这节课的处理是在不增加教材x,y在原函数图像上，那么(y,x)在反函数图像上这一性质，从图形上充分研究x,y与(y,x)的关系。经讨论研究可得出结论“x,y与(y,x)关于难度的情况下（不严密证明）利用000000000000y=x对称”。进而通过任意点的对称得出原函数和反函数的图像关于y=x这条直线对称，另外利用任意点来研究图像也是以后数学中经常用到的方法。具体操作大致如下：首先请学生画出y=3x-2(xR)的图像，并求出反函数，然后提出问题1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？学生很容易得出原函数与反函数中的自变量，函数值正好对调，即：原函数y =3x-2中 y:函数y2xx：自变量，反函数3中x:函数y：自变量。问题2：在原函数定义域内任给定一个x有唯一的一个0都y0与之对应，即x,y在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？对于这个问题有00了上题的铺垫，学生不难得出(y,x)在反函数图像上。这节课能够做到突出本课重点和难点。高考00关于这节课内容已经弱化，所以这节课没有严格的证明，而且反函数在学生以后的大学生涯中也是必不可少的内容，所以非常有必要研究。学生整体能够做到运用反函数这一性质来做题，达到了目标要求。