小结教案3

函数模型及其应用

教学目的 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

考情分析

考点

考查方向

考例

考查热度

一次、二次解决最值、变化趋势分

★☆☆

函数模型

析等问题

指数、对数变化趋势分析、最值等

★☆☆

函数模型

问题

分段函数模变化趋势分析、最值等

★☆☆

型

问题

真题再现

■ [2017-2013]课标全国真题再现

■ [2017-2016]其他省份类似高考真题

3611.[2017·北京卷]

根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10.则下列各数中与

最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)

(

) 3353A.10

B.10

7393C.10

D.10

[解析] D

lg

=lg M-lg N=lg 3-lg 10=361×lg 3-80≈361×0.48-80=173.28-80=93.28,lg 10=93,与93.28最接近,故选D.

2.[2016·四川卷]

某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

(

) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年

B.2019年

C.2020年

D.2021年

x[解析] B

设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元.由题可知,130(1+12%)=200, 解得x=log1.12 -

9380

36180=

≈3.80.

又资金需超过200万元,所以x的值取4,即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.递增

递增

递增

对点演练

1.y3>y1>y2

[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得.

2.在[0,t0]时间段内汽车行驶的路程

[解析] 根据速率与时间的关系可得.

3.S=

+

[解析] 由题意知,每件产品的生产准备费用是

元,仓储费用是

×1元,所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S=

+

.

4.

[解析] 物体的温度总不低于2摄氏度,即Q≥2恒成立, 即m·2+

≥2恒成立,即m≥2

-

恒成立.

t

令

=x,则0

,所以m≥

.

因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是

.

5.330元

[解析] 根据题意,获得的优惠额为1000×0.2+130=330(元).

36.8℃

[解析] 由题意知,上午8时即t=-4,因此所求温度T=(-4)-3×(-4)+60=8(℃).

7.[0,26]

[解析] 令h≥0,解得0≤t≤26,故所求定义域为[0,26].

(

)

[解析] 当0≤t≤2.5时,S=60t;当2.5

(

)

- (

)当3.5

【课堂考点探究】

例1

[思路点拨] (1)由A产品的利润与投资额成正比,B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,结合函数图像,可以利用待定系数法来求两种产品的利润与投资额的函数关系;(2)由(1)的结论,设B产品的投资额为x万元,则A产品的投资额为(10-x)万元,这时可以构造出一个关于利润y的函数,然后利用求函数最大值的方法进行求解.

解:(1)由A产品的利润与投资额成正比,可设f(x)=kx,将点(1,0.25)代入,得f(x)=

x(x≥0).

由B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,可设g(x)=t

,将点(4,2.5)代入,得

2

2

g(x)=

(x≥0).

(2)设B产品的投资额为x万元,则A产品的投资额为(10-x)万元,创业团队获得的利润为y万元, 则y=g(x)+f(10-x)=

+

(10-x)(0≤x≤10).

令

=t,则y=-

t+

t+

(0≤t≤

),即y=-

-

+ (0≤t≤

), 当t=,即x=6.25时,y取得最大值4.062 5.

2

答:当B产品的投资额为6.25万元时,创业团队获得的最大利润为4.062 5万元.

变式题

解:(1)设CF=x,则BF=40-x.

因为∠ABC=60° 所以EF=

(40-x), 所以S矩形CDEF=

x(40-x).

由于矩形地块的面积不小于300

平方米, 所以有

x(40-x)≥300

,

解得CF长度(单位:米)的取值范围为[10,30].

2(2)由(1)可知S矩形CDEF=

x(40-x)=-

(x-20)+400

≤400

(x∈(0,40)), 当x=20时,矩形地块的面积取得最大值400

.

由题意可知,当矩形地块被分为面积之比为1∶3的两部分时, 则有S△CMN=

S△CDF=100

.

设CM=m,CN=n,则有mn=200

(0

),所以MN=

≥

=20

,当且仅

当m=n=

时,MN取得最小值,即为20

米.

例2

解:(1)保鲜时间y与储藏温度x间的关系符合指数型函数y=k·a(k≠0),则

解得

故所求函数解析式为y=192×0.93.

x(2)设f(x)=192×0.93,因为f(x)是减函数, 且10>5,所以f(10)

变式题

(1)D

(2)1000

[解析] (1)设经过x年后全年投入的研发资金开始超过200万元,由题意可得130(1+0.12)=200,则x=log1.12,即x= xxx - -

-

=

≈

-

≈4,2016+4=2020,故选D.

(2)设8级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则8=lg A1-lg A0,5=lg A2-lg A0,两式相减得3=lg A1-lg A2=lg

,所以

=10=1000.

3

例3

[思路点拨] (1)根据“年利润=年产量×每件商品的售价-投入成本-固定成本”建立年利润与年产量的函数解析式;(2)分别计算0

解:(1)∵每件商品售价为0.05万元,

∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元.

①当0

x2-10x-250=-

x2+40x-250; ②当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-

+1450-250=1200-x+

.

-

-

综合①②可得,L(x)=

-

-

-

(2)由(1)可知,L(x)=

-

①当0

x2+40x-250=-

(x-60)2+950, ∴当x=60时,L(x)取得最大值,即L(60)=950; ②当x≥80时,L(x)=1200-x+

≤1200-2 ·

=1200-200=1000,

当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值1000.

综合①②可得,当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.

变式题

解:(1)依题设知,总成本为(20 000+100x)元, -

-

则y=

-

(2)当0

2

故当x=300时,ymax=25 000; 当x>400时,y=60 000-100x是减函数, 故y<60 000-100×400=20 000.

所以当月产量为300辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为25 000元.

【备选理由】例1为二次函数模型,需结合几何图形具体分析;例2为构建含一次函数、二次函数的分段函数模型问题,题目文字较多,所给条件较复杂,需要认真审题,正确构建函数模型求解.

1

[配合例1使用] 某人准备定制一批地砖,每块地砖是边长为1米的正方形(如图所示),点E,F分别在边BC和CD上,且CE=CF,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制作△CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料每平方米价格依次为30元、20元、10元.问点E在什么位置时,每块地砖所需的材料费用最少?

解:设CE=x,则BE=1-x, 设每块地砖的费用为W, 则W=x·30+×1×(1-x)×20+1-x-×1×(1-x)×10=10x-5x+15=10x-

2

2

2

2+

, 当x=时,W取得最小值,即费用最少.

故当点E在距点C为0.25米的位置时,每块地砖所需费用最少.

2

[配合例3使用] 某电影院共有1000个座位,票价不分等次,根据影院的经营经验,当每张票价不超过10元时,票可全部售出;当每张票价高于10元时,每提高1元,将有30张票不能售出.为了获得更好的收益,需确定一个合适的票价,票价需符合的基本条件是:①为了方便找零和算账,票价定为1元的整数倍;②电影院放映一场电影的成本支出为5750元,票房的收入必须高于成本支出.用x(元)表示每张票价,用y(元)表示该影院放映一场电影的净收入(除去成本支出后的收入).

(1)把y表示为关于x的函数,并求其定义域.

(2)试问在符合基本条件的前提下,票价定为多少时,放映一场的净收入最多? 解:(1)∵电影院共有1000个座位,放映一场电影的成本支出为5750元,票房的收入必须高于成本支出, ∴1000x>5750,即x>5.75, *又x∈N,∴票价最低为6元.

当票价不超过10元时, y=1000x-5750(6≤x≤10,x∈N*).

当票价高于10元时, y=x[1000-30(x-10)]-5750=-30x2+1300x-5750, - (

- )

由

-

-

解得5

,

∴y=-30x2+1300x-5750(10

∴y=

- (

∈

)

* -

- (

∈

)

(2)对于y=1000x-5750(6≤x≤10,x∈N), 当x=10时,y取得最大值,为4250; 2*对于y=-30x+1300x-5750(10

综上可知,当票价定为22元时,放映一场的净收入最多,为8330元.