探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教学实录与评析

探究与发现:《互为反函数的两个函数图象间的关系》教学设计

北京师范大学乌海附属学校 闫国峰

一、教材分析

1、教学内容：《互为反函数的两个函数图象间的关系》是高中数学人教A版《必修1》第二章《基本初等函数I》第2节《探究与发现》的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为一课时，本节课重在研究互为反函数的两个函数图象间的关系的探究过程并充分揭示互为反函数的两个函数图象间的关系结构特征、内在联系及性质的简单应用．

2、教材分析：《互为反函数的两个函数图象间的关系》是这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是也是研究两个函数相互关系的重要内容，并且有助于学生进一步加深对函数的认识和理解。

二、学情分析

1、知识基础：前几节课学生已学习了指数、指数函数的图像与性质；对数、对数函数的图象与性质，知道指数函数和对数函数互为反函数。

2、认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题学生在学习互为反函数的两个函数图象间的关系之前，已经知道指数函数和对数函数互为反函数对指数函数和对数函数的图象比较熟悉念，那么有了这些储备知识，学生在本节课的学习中可以在教师的引导下进行探究和思考，从而能较好地完成对本节课的学习。

三、教学目标

1、知识与技能：让学生学生了解指数函数和对数函数互为反函数且图象关于直线y=x对称；通过本节课的学习会利用反函数图象的对称性解决一些简单的对称问题。

2、过程与方法：教学上使用引导、发现法，这主要通过从具体到抽象、从特殊到一般的过渡方式来实现。

3、情感态度与价值观：通过对性质推导的探究与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．

四、教学重、难点

1.重点：互为反函数的两个函数图象间的关系的性质。

2.难点：互为反函数的两个函数图象间的关系的证明。

五、教学方法

1、教学策略

：坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采取启发教学法、引探教学法、讲授教学法等诸多方法之长，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点：

（1）、利用问题层层递进的探究模式，促使学生从感性认识上升为理性认识. （2）、重视学生的主体参与. （3）、注重信息反馈，坚持师生间的多向交流. 2、教学手段：利用计算机多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导．

六、教学过程：

- 1 -

教学

过程

复习

回顾

教学内容

指数函数与对数函数互为反函数。

师生互动

师：提出问题

生：学生思考、回答问题

设计意图

引导学生回顾旧知，为探究互为反函数的两个函数图象间的关系埋下伏笔．

一、想一想，入情境

通过这个问题不但

问题1：在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度师：以问导学

使学生产生求知的热情

及浓厚的兴趣，而且对x单位一致）中，画出指数函数

y2 生：积极思考，得出指数函数和对数函动手画图，发数图象间的对称性起到及其反函数 ylog2x

的图象，你能发现这

现图形之间的自然引入的作用.利用对称关系。

学生求知好奇心理，以两个函数的图象有什么对称关系吗？

一个非常直观的图形问

题为切入点，便于调动二、列表格，有发现

学生学习本节课的积极

性,在创设引入情境问让学生通过列表、描点、连线的方法在同一坐标系

题时，更能激发学生的兴趣，引起求知欲。

中画出指数函数y2x和对数函数ylog2x的

图象。

师：引导学生

分析这两个图 形的特点，利

设计意图：数形结合，用直观性得出激发学生的探索欲望，结论。

营造一个让学生主动观探索新知

察、思考、讨论的氛围.生：在老师的在教师的指导下，让学引导下导下得生经历从特殊到一般，出结论。

从已知到未知，步步深

入的过程，让学生自己

探究结论，从而体验到

引导学生思考

学习的愉快和成就感．

x生：思考，在问题2：取y2图象上的几个点，

老师的指引下

探究式学习。

1

如P

1(1,),P2(0,1),P3(1,2).P1,P2,P3

2

关于直线y=x 的对称点的坐标是什么？它师：让学生思

考

们在ylog2x的图象上吗？为什么？

x生：思考，并问题3：如果点P0(x0,y0)

在函数y2

的发现点的特点

图象上，那么

关于直线y=x的对称点在函及对称性。

- 2 -

数ylog2x的图象上吗？为什么？

问题4：由上述

探究过程可以得到什么结论？

问题5：上述结论对于指数函数yax(a0,且a1)及其反函数ylogax(a0,且a1)也成立吗？为什么？

解析式入手，发现本质：

y2x

x2y

ylog2x

对应法则互逆

师：提问学生从反函数的定义出发，由对应法则互逆，得出原函数的定义域是反函数的值域，

生：思考，并回答问题

形成数形结合的数学思想方法

生：思考，并解答问题

x3、已知函数y=a的反函数过点(16,4)，则

a。

4、若a>0且a1，f(2)=4，y=logax的反函数

fx，则fx=（

）

xx动手试试

A、1

B、2

C、logx

D、log2x

1

2

2

x当(0，2]时，=3的反函数的定义域fxx5、

为（

）

A.(0，+∞)

B．(1，9]

C．(0，1)

D．[9，+∞)

生：思考，并思考提升：

解答问题

ylog(x1)(a0,且a1)a函数

的反函数的图象经过点(1, 4)，求a的值.

四、实战演练，巩固新知

1.写出下列指数函数的反函数:

xxx (1)y=4; (2)y=0.4; (3)y=10

2.写出下列对数函数的反函数:

(1)y=log0.5x; (2)y=lnx; (3)y=log6x

熟悉互为反函数的两个函数图象间的关系并能灵活运用。

进一步提升学生分析问题、解决问题的能力。

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1、

yax与

ylogax

互为反函数。

从知识的归纳进一步延伸到思想方法提学生归纳总结

炼，把数学的学习作为提高学生数学素养和文化水平的有效途径. 2、

原函数的定义域是其反函数的值域，

原函数的值域是其反函数的定义域. 学习小结

其实质是对应法则的互逆

3、互为反函数的图象关于直线

y=x 对称

4、数形结合的思想.

1.书面作业

必做题:

1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a与y=logax的图象是(

)：

xy

y

1 1 y

y

1 1 0

1

x

0

1

x

0

1

x

0

1

x

作业布置

A

B

C

D 2、若y=fx的图象过点(1，5)，则其反函数．．．的图象必过点（

）

A．(5，1)

B．(1，5) C．(1，1)

D．(5，5)

让学生通过反复的学生课后完成

性质应用，巩固有关的性质。

2.思考题：作出函数y|log2x|的图象，它的图象与函数ylog2x的图象有何关系？

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