阅读与思考 集合中元素的个数优秀教学设计

高一第一讲：集合与命题

一、关联知识

1 命题的否定（是考察思维的周密性的重要内容之一.）

1）常见量词的等价（同义）语与量词的否定：

（1）量词的等价：“任意”

“全部”、“所有”、“都”等；

等价于等价于“存在”、“某些”、“有解”等

“至少有一个”（2）量词的否定：“任意”“存在”

2）逻辑连接词的否定：“或”“且”；

3）命题真值的否定：“真”

“假”；

“成立”

“不成立”；

“对”

“错”

2容斥原理：令|A|表示集合A的元素的个数，则

n互否互否互否互否互否|Ai|i11in|A||AA|iij1ijn|AiAjAk|(1)n1|AiA2An|

1ijkn3德摩根定理：U是全集，①CU(A②CU(AB)(CUA)(CUB)；

B)(CUA)(CUB)

4给定两个集合A,B，称集合AB{c|cA且cB}为集合A减B的差集；

5设A，B是两个集合，称(AB)二、典型例题

例1（2011复旦）设S是由任意nn5个人组成的集合，如果S中任意4个人当中都至少有1人认识其余3个人，那么，下面的判断中正确的是（

）

（A）

S中没有人认识S中所有的人；

（B）

S中至少有一人认识S中所有的人；

（C）

S中之多有2人不认识S中所有的人；

（D）

S中之多有2人认识S中所有的人；

解法一：

先用逻辑方法（列举反例）筛选：如：S中的所有人都相互认识适合题意，所以排除A，D；再举反例进一步排除

解法二：（图论）

1（构造图）用n个点表示S中的n个人，若两人不相识就在表示这两人的两个点之间连一条边，这样就可得到适合题意的图G；

2（明确证明目标）由题意只需证明：G中至少存在一个点，它与其余n-1个点不相连；

3（证明）：

设G中任意四个点Vi(i1,2,3,4)（如左图），由题这四个点中至少存在一个点，不妨设为V1，(BA)为A,B的对称差，

记为AB

它与其余三个点不相连；

再设G中与Vi(i1,2,3,4)相连的点为Vi，

由题意V1Vj(j2,3,4),V2V1

若V1V2，则四点V1，V2，V1，V2中必有

一点与其余三个点不相连，于是矛盾。因此V1V2，同理Vi重合为一点V1（如右图），此时仍然与已知矛盾；

综上G中没有与V1相连的点，所以G中至少存在一点它与G中的所有点都不相连。

例2（2009上海交大）珠宝店丢失了一件珍贵珠宝，以下四人只有一人说真话，只有一人偷了珠宝，甲：我没有偷。乙：丙是小偷。丙：丁是小偷。丁：我没有偷。则说真话的是__________，偷珠宝的是__________。

解法1 因为四人中只有一人说真话，故可分类讨论：

解法2 罗列各类真值表进行讨论：

例3（2006复旦）若非空集合X{x|a1x3a5}，Y{x|1x16}，则使得XXY成立的所有a的集合是（

）

(A){a|0a7}

(B){a|3a7

}a|a

(C){7

}

(D)空集

例4（2008武大）有50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测验成绩分别及格的有40人和31人，两项测试成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的有多少人？

例5（2010浙大）设集合M{x|f(x)x}，N{x|f(f(x))x}，

(1)求证：MN；

(2)若f(x)是一个在R上单调递增函数，是否有M=N？若是，请证明。

（1）分析：要证MN，从元素入手，只需证M中的元素都是N的元素；

（1）(2)在中只需证NM：设aN，则f(f(a))a，若f(a)a，当f(a)a时，由f(x)是R上的增函数，可得f(f(a))f(a)a与题设矛盾，同理当f(a)a时，得

f(f(a))f(a)a，仍然与题设矛盾，故f(a)a，即aM,所以NM所以结论成立；

例6（2010复旦）设集合X是实数集R的子集，如果点x0R满足：对任意a>0,都有xX，使得0|xx0|a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则在下列集合①n1R\{0}，②，③|nZ,n0|nZ,n0，④整数集Z中，以0为聚点的集n1n合有（

）

(A)②③ (B)①④ (C)①③ (D)①②④

点拨

先对“聚点”的定义做分析：

①

对任意a>0,在数集X中都能找到一个数x，使得0|xx0|a成立。

②从几何图形上看：无论划定多么小的区间(x0a,x0a)，其内都有数集X中

三练习题

1（2012复旦）设A，B，C是某集合的三个子集，且满足，则是为空集的（

）

（A）充分必要条件

(B)充分条件，但非必要条件

(C)必要条件，但非充分条件

(D)即非充分条件，也非必要条件

2（2006复旦）条件甲：1sina，条件乙：sin2cos2a，则（

）

（A）甲是乙的充分必要条件

（B）甲是乙的必要条件

（C）甲是乙的充分条件

（D）甲不是乙的必要条件，也不是充分条件

3（2008复旦）40个学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决一个代数学问题、一个几何学问题以及一个三角学问题，具体情况如下表所述：

问

题

代数学问题

几何学问题

三教学问题

代数学问题和几何学问题

代数学问题和三角学问题

几何学问题和三角学问题

解决问题的学生数

20 18 18 7 8 9 其中有三位学生一个问题都没有解决，则三个问题都解决的学生数是多少？

4（2009复旦）“要是函数f(x)0成立，只要x不在区间[a,b]内就可以了”的意思是（

）

(A)如果f(x)0，则x[a,b]

(B)如果x[a,b]，则f(x)0

(C)如果x[a,b]，则f(x)0

(D)前面三个解释都不准确

5（2009复旦）实轴R中的集合X如果满足：任意非空开区间都含有X中的点，则称X在R中稠密，那么，“R中的集合X在R中不稠密”的充分必要条件是（

）

(A)任意非空开区间都不含有X中的点

(B)存在非空开区间不含X中的点

(C)任意非空开区间都含有X的补集中的点

(D)存在非空开区间含有X的补集中的点

6（2009复旦）设X是含n（n>2）个元素的集合，A，B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m，k(m,k1,mkn)个元素，则X中及不包含A也不包含B的子集的个数是（

）

(A)2nm2nk2nmk

(B)2nmk

(C)2n2nm2nk2nmk

(D)2n12nm2nk2nmk

7（2010复旦）设集合A{(x,y)|logaxlogay0}，

B{(x,y)|xya}，若AB，则a的取值范围是（

）

(A)

(B)a0,a1

(C)0a2,a1

(D)1a2

22|1或|y|1”的否命题是8（2009中科大）命题“若xy2，则|x___________________________；

9（2007武大）运动会上，甲乙丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌，1人的银牌，1人的铜牌，王老师曾猜测“甲的金牌，乙不得金牌，丙不得铜牌”，结果王老师只猜对了一人，那么甲乙丙分别获得__________、__________、__________牌。

10（2007武大）来自英法日德的甲乙丙丁四位客人同时参加一个国际会议，他们除了懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种，有一种语言是三个人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现在知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩自由交谈；四个人中，没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；乙不会说英语，当甲与丙交谈时他都能做翻译；乙丙丁交谈时，找不到共同语言沟通，由上述可知，丁会说的两种语言是__________。

11（2003复旦）定义闭集合S，若a,bS，则abS，abS。

(1)举一例，真包含于R的无限闭集合；

(2)求证：对任意两个真包含于R的闭集合S1,S2，存在cR，但cS1

S2。

12（2007清华）对于集合MR（表示二维点集），称M为开集，当且仅当P0M，2r0使得P2R||P|r0PM并判断集合，(x,y)|x4y25与0(x,y)|x0,y0是否为开集，并证明你的结论