习题2.1含PPT的教学设计及点评

2.1.2

指数函数及其性质

第1课时

指数函数的图象及性质

1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)

[基础·初探] 教材整理1

指数函数的定义

阅读教材P54，完成下列问题．

指数函数的定义

一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数．(

) (2)函数y＝2x＋1是指数函数．(

) (3)函数y＝(－2)x是指数函数．(

) 【解析】

(1)由指数函数的定义形式可知(1)(2)(3)均错误．

1

【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

教材整理2

指数函数的图象和性质

阅读教材P55～P56，完成下列问题．

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

值域

过定点

性质

单调性

奇偶性

对称性

R

(0，＋∞) (0,1)，即当x＝0时，y＝1 在R上是增函数

在R上是减函数

非奇非偶函数

函数y＝ax与y＝a－x的图象

关于y轴对称

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x轴的上方．(

) (2)当a>1时，对于任意x∈R，总有ax>1.(

) (3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．(

) 【解析】

(1)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x轴的上方．

(2)×.当x≤0时，ax≤1. 1(3)×.因为f(x)＝2－x＝2x，所以函数f(x)＝2－x在R上是减函数．

【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

[小组合作型] 2

指数函数的概

(1)下列一定是指数函数的是(

) A．y＝ax

B．y＝xa(a>0且a≠1) 1xC．y＝2

D．y＝(a－2)ax

(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(

) A．a＝1或a＝3

C．a＝3

B．a＝1 D．a>0且a≠1 念

【精彩点拨】

根据指数函数的定义判断、求解．

【自主解答】

(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝1xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C中y＝2x显然是指数函数；D中只有a－2＝1即a＝3时为指数函数．

2a－2＝1(2)由指数函数定义知所以解得a＝3. a>0，且a≠1，

【答案】

(1)C

(2)C

1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：

(1)底数是大于0且不等于1的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

(3)ax的系数必须为1；

2．求指数函数的解析式常用待定系数法．

[再练一题] 1．(1)若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________. 3

(2)已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________.

【导学号：97030080】

【解析】

(1)由题意设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，

则f(2)＝a2＝9. 又因为a>0，所以a＝3. 所以f(x)＝3x. (2)由题意可知{2a－1>0，1a－1≠1，

解得a>，且a≠1. 21所以实数a的取值范围是2，1∪(1，＋∞)．

1【答案】

(1)3

(2)2，1∪(1，＋∞) x指数函数的定义域和值

求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝1－3x；

2(2)y＝3－|x|；

(3)y＝4x＋2x＋1＋2. 指数函数【精彩点拨】

函数式有意义―→原函数的定义域――→

的值域原函数的值域

【自主解答】

(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1. 所以1－3x∈[0,1)，即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．

(2)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，

2所以函数y＝3－|x|的定义域为{x|x＝0}．

220因为x＝0，所以y＝3－|x|＝3＝1，

域

4

2即函数y＝3－|x|的值域为{y|y＝1}．

(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，

即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．

1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．

2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：

(1)换元，令t＝f(x)；

(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；

(3)求t＝f(x)的值域t∈M；

(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．

3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．

[再练一题] 2．求下列函数的定义域和值域：

11(1)y＝2；(2)y＝22x－x2. 【导学号：97030081】

x－3【解】

(1)函数的定义域为{x|x≠3}．

令t＝1，则t≠0，∴y＝2t>0且2t≠1，故函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．

x－3(2)函数的定义域为R，令t＝2x－x2，则t＝－(x－1)2＋1≤1，

1111∴y＝2t≥21＝2，故函数的值域为2，＋∞. [探究共研型]

指数函数的图5

象

探究1

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？

【提示】

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1)；在f(x)＝ax－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,3)．

探究2

若函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象不经过第一象限，则a，b满足什么条件？

【提示】

如图，由图可知0

(1)在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是(

)

【导学号：97030082】

(2)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图象是(

)

【精彩点拨】

(1)分a＞1和0＜a＜1两种情况分类讨论，结合排除法解题；(2)根据函数的奇偶性及指数函数的图象作出判断．

6

【自主解答】

(1)∵a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，对应函数y＝x＋a单调递增，

又∵当a＞1时，函数y＝ax单调递增，当0＜a＜1时，函数y＝ax单调递减，

A中，从图象上看，y＝ax的a满足a＞1，而直线y＝x＋a的截距a＜1，不符合以上两条；

B中，从图象上看，y＝ax的a满足0＜a＜1，而直线y＝x＋a的截距a＞1，不符合以上两条；

C中，从图象上看，y＝ax的a满足a＞1，而函数y＝x＋a单调递减，不符合以上两条，

∴只有选项D的图象符合以上两条，故选D. 11(2)y＝a－|x|＝a|x|，易知函数为偶函数，∵0＜a＜1，∴a＞1，故当x＞0时，函数为增函数，当x＜0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 【答案】

(1)D

(2)A

指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系．

(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小．

(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．

(3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d＜c＜1＜b＜a.

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[再练一题] gg≥h3.定义一种运算：g⊙h＝已知函数f(x)＝2x⊙1，那么函数y＝f(xhg

)

xx－12x≥02x≥1【解析】

f(x)＝∴f(x－1)＝

1x<0，1x<1，

∴其图象为B，故选B. 【答案】

B

1．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(

) A．(2)x

1xC.2

B．2x

2D.x

2【解析】

由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝2，所以f(x)＝(2)x. 【答案】

A 2．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是(

) 8A.－9，8

1C.9，9

8B.－9，8

1D.9，9

8

【解析】

y＝3－x－1，x∈[－2,2)是减函数，

8∴3－2－1

A 3．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(

)

【解析】

由于0

C 4．已知函数f(x)＝ax(a＞0, 且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围－是________．

1x【解析】

因为f(x)＝a＝a，且f(－2)＞f(－3)，所以函数f(x)在定义域－x1上单调递增，所以a＞1，解得0＜a＜1. 【答案】

(0,1) 1x5．设f(x)＝3，g(x)＝3. x(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

【解】

(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：

1(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝3－1＝3，

1－ππf(π)＝3，g(－π)＝3＝3，

π9

1－mmf(m)＝3，g(－m)＝3＝3. m从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．

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