小结教学设计第二课时

函数的奇偶性

厦门市灌口中学

黄永超

一、教学目标：

1、通过实例，在建立奇偶性概念的过程中理解概念，能用数学符号语言描述函数的奇偶性

2、会判断一个函数是否为奇（偶）函数；

3、通过具体实例，感受数学推理中的归纳推理的推理模式，了解规律课的一般研究方式

二、教材分析：

“函数的奇偶性”是函数基本性质内容的第二节，在学生学习了单调性是对函数的局部性质的描述之后，通过类比手段比较容易掌握奇偶性是对函数的整体性质描述。同时，本节课从图像直观感知到代数抽象概括的研究方法也是为后续进一步学习基本初等函数提供研究思路。

教材在处理函数的奇偶性时，沿用前面处理函数单调性与最大（小）值的方法，即先给出几个特殊函数的图像，学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中“任意值”都成立，最后在这个基础上建立起奇偶函数的概念，这样的处理充分体现了数形结合的思想。

根据数学规律探究的对象特点，使学生经历从问题出发，通过观察图像等路径形成猜想，运用分类枚举、推理论证等方法对猜想进行获得结论的过程。借助这个过程，可以提升学生合理猜想的意识与能力；也可以帮助学生掌握分类枚举、推理论证等研究方法；还可以帮助学生掌握数学图形语言与符号语言之间的转换，提升学生数学语言表述的水平与能力，了解数学规律探究和发现的一般方法。

三、学生分析：

高一年学生已有的学习经验而言，已经学习轴对称与中心对称图形，这些构成本节课的知识基础，前面刚学习完函数的单调性与最大（小）值，对规律课的教学结构有初步的认识，对数学推理中的归纳推理的推理模式也有初步体会，对函数性质的研究方法有一定的认识，但是文字语言、图形语言、符号语言三者之间的转化能力较为不足，对利用结构式学习方式学习规律课的研究方式有待进一步提高。

四、教学过程

观察下列图形，你能说说它们有什么共同特征？

意图：感受生活中的对称美

问题1：我们在初中已经学习过对称的问题，包括中心对称图形和轴对称图形，你能举出一些具有对称性的图形吗？ 意图：从生活中的对称过渡到几何图形对称

问题2：函数的图象也具有对称性吗？请画出相应函数的图象，并写出它的解析式。

意图：从生活中的对称到几何图形的对称再到函数图像的对称，层层递进。

问题3：你怎么验证所画图像关于y轴对称？

直观：一个点不够，两个点也不够，无数个点也是不足的（区别无数与任意），应是图象上所有的点都要关于y轴对称——xI

用符号语言来表述——代数化：以坐标表示点：(x,f(x))；

y轴对称：横坐标对称——(x,f(x))，则有f(x)f(x)。

问题4：你还能举出具有这种性质的函数吗？

举例：yx1，yx，…，的图象都具有该性质：关于y轴对称。

抽象命名：偶函数。

2

整理偶函数的知识：（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言

图形语言

符号语言

示例

图像关于

偶函y轴对称

数

对于定义域I 任意一个x，都有

f (-x) = f (x)

yx2

问题5：通过类比，你能用三种语言描述函数图像关于原点对称吗？

文字语言

图形语言

符号语言

示例

图像关于

偶函y轴对称

数

奇函数

概念理解：

xI，有

yx2

f(x)f(x)

（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

（2）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

（3）如果一个函数具有奇偶性，则其定义域必须关于原点对称。

采用本节课的研究方式，回顾函数单调性

文字语言

图形语言

符号语言

示例

图像关于

偶函y轴对称

数

图像关于

奇函原点对称

数

xI，有

yx2

f(x)f(x)

xI，有

yf(x)f(x)

1

xx1,x2D，当增函数

y随x的增大而增大

x1x2时，有f(x1)f(x2)

x1,x2D，当

减函数

y随x的增大而减少

x1x2时，有f(x1)f(x2)

意图：进一步强化规律课的研究方式，并让学生感受到结构式学习法的优越性。同时提升学生的类比推理能力

综合应用：

例1：判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)x；

（2）f(x)x,x[2,3]；

3（3）f(x)x；

（4）f(x)421。

2x解：对于函数f(x)x，定义域R 4

定义域内任意一个x，都有f(x)(x)4x4f(x)

所以函数f(x)x4为偶函数

答案：（1）偶；（2）奇；（3）奇；（4）偶

小结：判断函数奇偶性的方法：定义、图像

例2：函数f(x)x2,x[1,a]为偶函数，则a 。

例3：函数f(x)(xa)(x1)为偶函数，则a 。

小结：判断函数奇偶性的方法。

方法

特殊值法

举例

f(1)f(1)0

f(x)x2(a1)xa为二次函数，其为偶函数的充要重要条件是a10图象

（结论：二次函数f(x)ax2bxc(a0)为偶函数b0。）

定义法

f(x)f(x)(a1)x0恒成立

例4：判断函数f(x)x1的奇偶性

形：不对称

数：存在一个x01，使得

f(1)112,f(1)110f(1)f(1),f(1)f(1)

小结：判断一个函数为非奇非偶函数：

存在x0，使得f(x0)f(x0)且f(x0)f(x0)。

例5：判断函数f(x)|xa|的奇偶性

解析：当a0时，f(x)|x|，

有f(x)|x||x|f(x)，为偶函数；

当a0时，f(a)0，f(a)2|a|0，

所以有f(a)f(a),f(a)f(a)，

所以f(x)|xa|为非奇非偶函数。

拓展：如何用数学语言表达“函数f(x)的图象关于直线xt对称”？

如何用数学语言表达“函数f(x)的图象关于点P(a,b)对称”？

课堂小结：

文字语言

图形语言

符号语言

示例

图像关于

偶函y轴对称

数

图像关于

奇函原点对称

数

作业布置：

xI，有

yx2

f(x)f(x)

xI，有

yf(x)f(x)

1

x