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函数的值域小结

教学目标：

1.结合具体函数的特征，选择合适的方法求解函数最值（值域）问题。 2.通过具体例子的学习，理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数性质的应用之一。

3.在获取知识的过程中逐渐形成数形结合思想；慢慢感知数学问题求解途径与方法、探究的基本技巧；享受成功

的快乐。

教学重、难点：

重点：函数最值求法：图像法、配方法、单调法。

难点：理解函数最值可取性的意义。

教学方法：合作探究

方法(一)

性质法求函数的值域(最值) x2－11．函数y＝2的值域为________．

x＋1x2－11＋y解析：由y＝2，可得x2＝. x＋11－y1＋y由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1，

1－y故所求函数的值域为[－1,1)．

答案：[－1,1) 11a，2上的值域为，2，则a＝________，b＝________. 2．若函数f(x)＝－＋b(a>0)在22x1a解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在2，2上是增函数，

x11∴f(x)min＝f2＝2，f(x)max＝f(2)＝2. 即a－2＋b＝2，5答案：1

2[方法点拨]

1－2a＋b＝，2

5解得a＝1，b＝. 2(1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x2≥0，ex>0等)求解即可．

(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么ymax＝f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么ymin＝f(b)，从而得出值域．

方法(二)

数形结合法求函数的值域(最值) 3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．

－2x＋1，x≤－1，解析：函数y＝3，－1

根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．

答案：[3，＋∞) 2m＋x，|x|≥1，4．设函数f(x)＝的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，x，|x|<1

则函数g(x)的值域是________．

22m＋x，|x|≥1，x，|x|≥1，解析：因为函数f(x)＝的图象过点(1,1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝x，|x|<1x，|x|<1.

画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，

当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．

而f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)，因为g(x)是二次函数，

所以g(x)的值域是[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞) [方法点拨]

先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值．

方法(三)

换元法求函数的值域(最值) 5．函数y＝x＋1－x2的最大值为________．

解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1. 可令x＝cos θ，θ∈[0，π]，

πθ＋，θ∈[0，π]，

则y＝cos θ＋sin θ＝2sin4所以－1≤y≤2，故原函数的最大值为2. 答案：[2] 346．已知函数f(x)的值域为8，9，则函数g(x)＝f(x)＋1－2fx的值域为________．

34解析：∵≤f(x)≤，

8911∴≤1－2fx≤. 32令t＝1－2fx，

111≤t≤，

则f(x)＝(1－t2)2321令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，

2

111≤t≤. 即y＝－(t－1)2＋123217∴当t＝时，y有最小值；

3917当t＝时，y有最大值. 2877∴g(x)的值域为9，8. 77答案：9，8

[方法点拨]

对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．

方法(四)

分离常数法求函数的值域(最值) 3x＋17．函数y＝的值域为________．

x－23x＋13x－2＋77解析：y＝＝＝3＋，

x－2x－2x－277因为≠0，所以3＋≠3，

x－2x－23x＋1所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．

x－2答案：{y|y∈R且y≠3} 5x－18．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．

4x＋25x－157解析：由y＝，可得y＝－. 442x＋14x＋2777∵－3≤x≤－1，∴≤－≤，

2042x＋148∴≤y≤3 58∴所求函数的最小值为

58答案：

5[方法点拨]

通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．

课堂小结

求函数值域（最值）的类型及其方法

(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x2≥0，|x|≥0，x≥0，ex>0等)确定函数的值域或最值．

(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．

(3)形如求y＝ax＋b＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．

cx＋d(4)形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．

ax＋b另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．