单项式乘以单项式全国优秀课堂实录

1.4 整式的乘法(一) ●教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行单项式与单项式相乘的运算. 2.理解单项式与单项式相乘的算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想. (二)能力训练要求

1.发展有条理的思考和语言表达能力. 2.培养学生转化的数学思想. (三)情感与价值观要求

在探索单项式与单项式相乘的过程中，利用乘法的运算律将问题转化，使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣. ●教学重点

单项式与单项式相乘的运算法则及其应用. ●教学难点

灵活地进行单项式与单项式相乘的运算. ●教学方法

引导——发现法

●教具准备

投影片四张

第一张：问题情景，记作(§1.4.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.4.1 B) 第三张：例题，记作(§1.4.1 C) 第四张：练习，记作(§1.4.1 D) ●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］整式的运算我们在前面学习过了它的加减运算，还记得整式的加减法是如何运算的吗？

［生］如果遇到有括号，利用去括号法则先去括号，然后再根据合并同类项法则合并同

类项. ［师］很棒！其实整式的运算就像数的运算，除了加减法，还应有整式的乘法，整式的除法.下面我们先来看投影片§1.4.1 A中的问题：

京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画，如图1－1所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有x米的空白. 18

(1)第一幅画的画面面积是多少平方米？第二幅呢？你是怎样做的？

(2)若把图中的1.2x改为mx，其他不变，则两幅画的面积又该怎样表示呢？

［生］（1）从图形我们可以读出条件，第一个画面的长、宽分别为x米，1.2x米；第二个画面的长为1.2x米，宽为(x－2311x－x)即x米；因此第一幅画的面积是488342 x·(1.2x)=1.2x平方米，第二幅画的面积为(1.2x)·(x)=0.9 x平方米. （2）若把图中的1.2x改为mx，则有第一个画面的长、宽分别为x米，mx米；第二个画面的长、宽分别为mx米、(x－x－x)即x米.因此，第一幅画的画面面积是x·(mx)米；第二幅画的画面面积是(mx)·(x)米. ［师］我们一起来看这两个运算：x·(mx),(mx)·(x).这是什么样的运算. ［生］x,mx,x都是单项式，它们相乘是单项式与单项式相乘. ［师］大家都知道整式包括单项式和多项式，从这节课开始我们就来研究整式的乘法.我们先来学习单项式与单项式相乘. Ⅱ.运用乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算性质等知识，探索单项式与单项式相乘的运算法则

出示投影片(§1.4.1 B) 想一想：

34342181834342

(1)对于上面的问题小明也得到如下的结果：

第一幅画的画面面积是x·(mx)米；

第二幅画的画面面积是(mx)·(x)米. 可以表达的更简单些吗？说说你的理由. (2)类似地，3ab·2ab和(xyz)·yz可以表达得更简单些吗？为什么？

(3)如何进行单项式与单项式相乘的运算？

［师］我们来看“想一想”中的三个问题. ［生］我认为这两幅画的画面面积可以表达的更简单些. x·(mx) =m·(x·x)——乘法交换律、结合律

=mx——同底数幂乘法运算性质

(mx)·(x) =(m)(x·x)——乘法交换律、结合律

=mx——同底数幂乘法运算性质

［生］类似地，3ab·2ab和(xyz)·yz也可以表达得更简单些. 3ab·2ab

=(3×2)·(a·a)·(b·b)——乘法交换律、结合律

=6ab——同底数幂乘法运算性质

(xyz)·yz =x·(y·y)·(z·z)——乘法交换律、结合律

=xyz——同底数幂乘法的运算性质

［师］很棒！这两位同学恰当地运用了乘法交换律、结合律以及同底数幂乘法的运算性质将这几个单项式与单项式相乘的结果化成最简.在(1)(2)的基础上，你能用自己的语言描述总结出单项式与单项式相乘的运算法则吗？你们一定做得会更棒. ［生］单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式. ［师］我们接下来就用这个法则去做几个题，出示投影片(§1.4.1 C) ［例1］计算：

3222342323232223223423434342

(1)(2xy)·(xy); (2)(－2ab)·(－3a); (3)(4×10)·(5×10); (4)(－3ab)·(－ab); (5)(－abc)·(－c)·(abc). 解：(1)(2xy)·(xy)=(2×)·(x·x)(y·y)=xy; (2)(－2ab)·(－3a)=［(－2)·(－3)］(aa)·b=6ab; (3)(4×10)·(5×10)=(4×5)·(10×10)=20×10=2×10; (4)(－3ab)·(－ab)

=［(－3)(a)(b)］·［(－1)(a)(b)］

=(9ab)·(ab) =9·(a·a)·(b·b) =9ab; (5)(－abc)·(－c)·(abc) =［(－)×(－)×()］·(a·a)(b·b)(c·c·c) =abc

［师生共析］单项式与单项式相乘的乘法法则在运用时要注意以下几点：

1.积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a·3a=6a,而不要认为是6a或5a. 2.相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质. 3.只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式. 4.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. 5.单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. Ⅲ.练习，熟悉单项式与单项式相乘的运算法则，及每一步运算的算理

出示投影片(§1.4.1 D) 1.计算：

(1)(5x)·(2xy); (3)(－3ab)·(－4b); 232325651916415610461510222325352523232554549102323332232325542321323233451321313223232323233451323413223516339

(3)(2xy)·(－4xy). 2.一种电子计算机每秒可做4×10次运算，它工作5×10秒，可做多少次运算？

(由几位同学板演，最后师生共同讲评) 1.解：(1)(5x)·(2xy) =(5×2)(x·x)·y=10x+2y=10xy; (2)(－3ab)·(－4b) =［(－3)×(－4)］a·(b·b)=12ab; (3)(2xy)·(－4xy) =［2(x)·y］·(－4xy) =(8xy)·(－4xy) =［8×(－4)］·(x·x)(y·y)=－32xy

2.解：(4×10)×(5×10) =(4×5)×(10×10) =20×10=2×10(次) 答：工作5×10秒，可做2×10次运算. Ⅳ.课时小结

这节课我们利用乘法交换律和结合律及同底数幂乘法的法则探索出单项式相乘的运算法则，并能熟练地运用. Ⅴ.课后作业

课本习题1.8，第1、2题. Ⅵ.活动与探究

若(ab)·(a－1b)=ab,则m+n的值为多少？

［过程］根据单项式乘法的法则，可建立关于m,n的方程，即(ab)·(a=(a·am+12n－1m+1n+22n－1m+1n+22n2m5321211129292632756323233223223232353292232b) 2m)·(b·b)=an+22m2n+m2m+n+2b=ab,所以2n+m=5①,2m+n+2=3即2m+n=1②,观察①②方53程的特点，很容易就可求出m+n. ［结果］根据题意，得2n+m=5①,2m+n=1②,①+②得3n+3m=6,3(m+n)=6,所以m+n=2. ●板书设计

§1.4 整式的乘法(一) ——单项式与单项式相乘

问题：如何将x·(mx);(mx)·(x)化成最简？

探索：x·(mx)=m·(x·x)——乘法交换律、结合律

=mx——同底数幂乘法运算性质

(mx)·(x)=(m)·(x·x)——乘法交换律、结合律

=mx——同底数幂乘法运算性质

类似地，3ab·2ab=(3×2)(a·a)(b·b)=6ab; (xyz)·yz=x·(y·y)(z·z)=xyz. 归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 例题：例1.(师生共析) 练习：(学生板演，师生共同讲评) ●备课资料

有趣的“3x+1问题”

现有两个代数式：3x+1 x 1222322323342343434342

①

②

如果随意给出一个正整数x,那么我们都可以根据代数式①或②求出一个对应值.我们约定：若正整数x为奇数，我们就根据①式求出对应值；若正整数x为偶数，我们就根据②式求出对应值.例如，根据这种规则，若取正整数x为18(偶数)，则由②式求得对应值为9；而9是奇数，由①式求得对应值为28；同样正整数28(偶数)对应14……我们感兴趣的是，从某一个正整数出发，不断地这样对应下去，会是一个什么样的结果呢？也许这是一个非常吸引人的数学游戏. 下面我们以正整数18为例，不断地做下去，如a所示，最后竟出现了一个循环：4，2，1，4，2，1…

再取一个奇数试试看，比如取x为21，如b所示，结果是一样的——仍然是一个同样的循环.

大家可以随意再取一些正整数试一试，结果一定同样奇妙——最后总是落入4，2，1的“黑洞”，有人把这个游戏称为“3x+1问题”.

是不是从所有的正整数出发，最后都落入4，2，1的“黑洞”中呢？有人借助计算机试遍了从1到7×10的所有正整数，结果都是成立的. 遗憾的是，这个结论至今还没有人给出数学证明(因为“验证”得再多，也是有限多个，不可能把正整数全部“验证”完毕).这种现象是否可以推广到整数范围？大家不妨取几个负整数或0再试一试.