3.3 幂函数教学设计思路

幂函数（2）

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学习要求

1．了解幂函数的概念，能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；

2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；

3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．

ziyuanku.com自学评价

1．幂函数的性质：

（1）都过点 ；

（2）任何幂函数都不过 象限；

（3）当0时，幂函数的图象过 ．

2．幂函数的图象在第一象限的分布规律：

（1）在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；

（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在

象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 对称．

资源库【精典范例】

5例1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）yx

（2）yx（3）yx（4）yx543543

（5）yx12

分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．

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点评:

熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．

例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：

（1）2.5,(1.4),(3)

（2）0.16,0.5,6.25

3432382323232321533332（3）(),(),(),3,()

3532分析：（1）底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了．

（2）观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小．

点评:

比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

例3：已知yx,yx,yx,yx的图象如图所示：

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y

yxc

yxyxay1 0

xb

yxd1 x

则a，b，c，d的大小关系是：

分析：对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：正抛物负双曲，大竖直小横铺．即n0(n1)

追踪训练一

1.

图中曲线是幂函数yx在第一相限的图象，已知取线C1、C2、C3、C4的值依次为（

）

(A)2，1，2

四个值，则相应与曲211，，2

2211(B)2，，，2

2211(C)，2，2，

2211(D)2，，2，

2213132.给出下列四个函数：(1)yx；(2)yx；(3)yx；(4)yx，其中定义域和值123域相同的是 （写出所有满足条件的函数的序号）

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3.

比较下列几组数大小

（1）1.5，1.7，1； 10322331.1()（2）(，．

)，72131324资源%库

【选修延伸】

一、幂函数性质的运用

例4: 已知(x3)13(12x)，求x的取值范围．

1，因此可借助于幂函313分析：数形给合思想的运用．由于不等式的左右两边的幂指数都是数yx

13的图象性质来求解．

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点评:利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式．

二、幂函数图象的性质特征

例5：已知幂函数yxm22m3（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．

分析：幂函数图象与x轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合mZ，便可逐步确定m的值．

【

思维点拔：

（1）比较同指数幂的大小，利用幂函数的单调性；

（2）根据幂函数的图象，判断指数的大小，或根据幂函数的指数的大小，描述其图象的特征；

（3）判断幂函数的奇偶性，宜先将分数指数化为根式的形式．

追踪训练二

1．设a,b满足0ab1，下列不等式中正确的是 （ ）

A．aaabB．babbC．aaba D．bbab

2．函数y1x2mm2在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是 ．

213．求函数yx52x54(x32)的值域．

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