2.1.1 函数的概念和图象课堂实录

函数的概念教学设计

教学内容解析：

本节课选自普通高中实验教科书《数学

必修一》第一章第二节。函数的概念既是初中所学函数知识的归纳、拓展，也是后续学习函数的性质、基本初等函数的基础，具有重要的衔接作用。此外，函数的知识与我们日常生活、生产、科学研究有着密切的联系，因此学习本节内容有着广泛的现实意义。

教学目标：

1、学生能从具体实例中抽象概括出函数的概念，并用数学符号表示，建构函数的概念。通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，学生能从发展的角度看待数学的学习。

2、学生运用数形结合的思想，能在数轴上表示区间，能从函数的图像大致判断出函数的定义域与值域。

3、在交流讨论中，学生通过独立思考与合作交流，提升自主学习能力，增强合作意识。

教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。

教学难点：函数概念的理解。

教学方法与策略：讨论法和产生式教学策略；从具体到抽象，再从抽象到具体。

教学过程：

（Ⅰ）引入问题

问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）

要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子。

问题2 初中所学函数的定义是什么？（通过学生自己的描述，了解学生已有的对函数的理解，便于下面的教学）

让学生进行分组讨论，每组派一个代表发言，并由其他组成员提出问题或建议。最后教师总结概括出初中函数的定义。

（设在某变化过程中有两个变量x和y，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量）。

（Ⅱ）函数感性认识

例子（1）：炮弹飞行时间的变化范围是数集A{x0x26}，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B{h0h845}，对应关系h130t5t

（*）。从问题的实际意义2

可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。

例子（2）中数集A{t1979t2001}，B{S0S26}，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。

例子（3）中数集A{1991,1992,,2001},B{53.8,52.9,,37.9(%)}，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。

（III）归纳总结给函数“定性”（由学生分组讨论，得出函数的定义）

归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作f:AB。

（IV)理性认识函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作yf(x),xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域(range)。

定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；

（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；

y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；

自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=2+3×2+1=11。

注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。

（2）定义域是自变量x的取值范围；

22

注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如：y=x(xR)与y=x(x>0)； y=1与y=x220 ②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；

如：一个矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x，此函数的定义域为x>0,而不是xR。

（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。

阐明映射与函数的关系：函数是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集。

(V)区间的概念

设a、b是两个实数，且a

2（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；

（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为a,b；

（3）满足不等式axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为a，b；

（4）满足不等式axb的实数x的集合叫做也叫半开半闭区间，表示为a,b；

说明：①

对于a,b，a,b，a，b，a,b都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；

②

引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3

③

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；（在数轴上的表示有利于直观地观察区间的特点，化抽象为具体。【数形结合的思想】）

④

实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负

无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足xa, x>a, xb, x

例1．已知函数f(x)（1）求函数的定义域；

（2）求f(3),f()的值；

（3）当a>0时，求f(a),f(a1)的值。

x31

x223分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式yf(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。（解略）

例2．求下列函数的定义域。

11f(x)x1（1）f(x)；(2)f(x)x4x2；(3) 2x(12x)(x1)分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。

从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；

（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。

由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。

例3．下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？

x2

(1) y=(x); (2) y=; (3) y=3x3; (4)y=x2. x2 分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才算相同。（解略）

课堂练习：课本P22练习1、2、3。

课堂小结：从定义、本质、函数三要素、对函数符号的理解

【四个方面进行总结】

板书设计：

1、函数的概念

2、函数的三要素

3、函数与映射的区别

4、例题、练习的解答

课后作业：

1、书面作业：课本P28习题1.2 A组题第1，2，3，4题；B组第1、2题。

2、预习作业：

（1）

预习内容：课本P22—P23；

（2）

预习提纲：

a.函数的表示方法分别有哪几种；

b.回顾初中学过的做函数图象的方法步骤；

教学反思：

函数是高中数学中一个非常重要的内容之一，贯穿整个高中数学学习。其重要性体现在：

1、函数源于现实生活，具有广泛的应用。

2、函数是沟通代数、几何、三角、数列等内容的桥梁。

3、函数部分内容蕴涵重要数学思想，分类讨论的思想，数形结合的思想，化归的思想等。这些思想方法是进一步学习数学和解决数学问题的基础。

函数的概念表现出来的都是抽象的符号形式，在抽象概念的教学中，要强调对概念本质的认识与理解。所以函数概念的教学更忌照本宣科，要注意对知识进行重组建构。努力去提示函数概念的本质，使学生真正理解它，发现用集合和映射语言描述函数概念的巧妙之处，激

发学生对函数学习的好奇心与自主性。