3.4.2 函数模型及其应用教学设计方案

课题：平面图形为载体的应用题

高邮第一中学 杨增权

【学习目标】

掌握应用题解题的一般步骤、解题方法技巧

1、应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却是一个程序化的过程：

（1）审题、（2）建模、（3）运算、（4）作答. 2、引导学生如何审题、解题，实现由实际问题向数学问题的转化（数学建模），最后通过已有的数学知识解决问题(数学解模)

考情分析

1、应用题在江苏高考中大致呈现一大题的格局，是高考考查的重要题型，而平面图形考查的频率较高。

2、平面图形应用题涉及的数学模型主要有函数模型，三角模型，解几模型。

【预习单】

1、如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C—D—E—F，

且 CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，用t表示线段EF的长f(t)，则f(t)= 。

【活动单】

〖例题1〗如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北100 m的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，100 m为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上(点P、Q分别在点O的正东、正北)，且要求PQ与圆A相切．

(1) 当P距O处200 m时，求OQ的长；

(2) 当公路PQ长最短时，求OQ的长．

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〖例题2〗一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF部分规划为蜂巢区，△CEF部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？

【反思单】

1.怎样利用条件建模？

2.应用题中如何简便计算？

【巩固单】

1、如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？

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变式：如图，在某商业区周边有两条公路l1,l2，在点O处交汇，

该商业区为圆心角，半3径3km的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1,l2分别交于A,B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1,l2上. 则新建公路AB的长度最短值为 ．

2、如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．

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3、如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道．某公园P位于商π业中心北偏东θ角0<θ<，tanθ＝33，且与商业中心O的距离为21公里处．现要经2过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A、B两处．

(1) 当AB沿正北方向时，试求商业中心到A、B两处的距离和；

(2) 若要使商业中心O到A、B两处的距离和最短，请确定A、B的最佳位置．

4、如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O

为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m．设∠AOC＝x rad．

（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；

（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

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