1.1 集合的含义及其表示公开课教学设计模版

观察下面的语句：

(1)所有小于10的自然数；

(2)高一(2)班的所有帅哥；

(3)2013～2014赛季所有参加CBA联赛的球队；

(4)方程x2－1＝0的所有实数根；

(5)我们班的高个子同学．

问题1：以上各语句中所要研究的对象分别是什么？

提示：分别为自然数，帅哥，球队，实数根和高个子同学．

问题2：哪几个语句中的对象不能确定？为什么？

提示：(2)、(5)中对象不能确定．因为帅哥和高个子没有明确的划分标准．

问题3：你能指出第(1)、(4)中的确切的对象吗？

提示：(1)中：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. (4)中：1，－1. 第1页

集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.

已知英文字母包括元音字母和辅音字母．

问题1：记元音字母组成的集合为A，辅音字母构成的集合为B，那么字母O与字母G与A、B关系怎样？

提示：字母O是集合A的元素，不是集合B的元素．字母G是集合B的元素，不是集合A的元素．

问题2：能否存在某个字母，它既是A的元素，又是集合B的元素？

提示：没有．

1．常用数集及其记法

常用数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

记法

2．元素与集合的关系

N

N*或N＋

Z

Q

R

观察下列集合：

(1)中国的直辖市；

(2)2的所有正因数；

(3)不等式x－2≥3的解集；

(4)所有偶数的集合；

(5)方程x2－3x＋2＝0的解集．

第2页

问题1：上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？

提示：(1)、(2)、(5)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．

问题2：设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们的特征表示出来．

提示：(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈Z. 问题3：(2)、(5)中的两个集合有什么关系，如何表示呢？

提示：(2)、(5)中两个集合(分别记为集合A、B)的元素完全相同，所以是相等集合，可表示为A＝B.

1．集合的表示法

列举法

描述法

2.集合相等

如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．

考察下列集合：

(1)方程x2－4＝0的解组成的集合；

(2)不等式x>3的解组成的集合；

(3)方程x2＝－1的解组成的集合．

问题1：集合(1)中有几个元素？

提示：两个，分别是2和－2. 问题2：集合(2)中的元素能数得尽吗？

提示：数不尽．即集合中的元素有无限个．

问题3：集合(3)中的元素是什么？

提示：集合(3)中没有元素．

将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内，元素之间用逗号分隔，用这样表示集合的方法称为列举法

将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，用这样表示集合的方法称为描述法

第3页

有限集

无限集

空集

含有有限个元素的集合

含有无限个元素的集合

不含任何元素的集合，记作∅

1．集合是具有共同的特征(或属性)的对象组合而成，且这个特征(或属性)有确定的划分标准．

2．集合与元素间的关系是用符号“∈”或“∉”表示的，是集合中的元素，必须是确定的，对于集合A与元素a，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一．集合中的元素是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中，只能算作一个元素．

3．列举法和描述法是表示集合的两种常用方法．列举法表示集合直观明了，可以明确知道集合中具体的元素及元素个数，但当元素个数无限时，多用描述法．

[例1]

判断下列每组对象能否构成一个集合：

①高一(1)班成绩较好的同学；

②今年诺贝尔文学奖获得者；

③立方接近于零的正数；

④巴西奥运会所有比赛项目；

⑤1,2,3,2. [思路点拨]

解答本题可根据集合的意义，考虑每组对象是否具有明确的标准，是否互异，这是判断它们能否构成集合的依据．

[精解详析]

②④中的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；

①中“成绩较好”的标准不明确，不能构成集合；

③中“接近零”的标准不明确，不能构成集合；

第4页

⑤中含有两个2，不满足互异性，不能构成集合．

[一点通]

判断某些对象能否组成集合，关键看这些对象是否具有集合中元素的确定性，互异性特征，若具有则可以组成集合，否则就不能组成集合．

1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．

其中能构成集合的是__________．(填序号) 解析：“接近于0的数”，“比较小的正整数”对象不明确，即元素不确定，所以①②不能构成集合；同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数是不是它的近似值，所以⑤也不能构成集合；③④能构成集合．

答案：③④

2．判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)某个单位里的年轻人组成一个集合．

1361－，，这些数组成的集合有五个元素．

(2)1，，，2422(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．

解：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．

(2)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由三个元素组成的．

(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合.

[例2]

已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a. [思路点拨]

由－3∈A，得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，求出a后再进行验证．

[精解详析]

由－3∈A，

则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

3∴a＝－1或a＝－. 2当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，

∴a＝－1舍去．

第5页

373当a＝－时，a－2＝－≠－3≠12，故a＝－. 222[一点通]

根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，此类问题常因忽略检验而错解，在运用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的应用．

3．集合P＝{1，m，m2－3m－1}，若3∈P且－1∉P，则实数m的值为________．

解析：∵3∈P且－1∉P.∴当m＝3时，P＝{1,3，－1}，与－1∉P矛盾．当m2－3m－1＝3时，m＝4或m＝－1(舍去)，此时P＝{1,4,3}．符合题意．∴m＝4. 答案：4 4．若2∉{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________．

解析：因为2∉{x|x－a>0}，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2. 所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．

答案：{a|a≥2} 5．已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．

解：若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去；

若x2＝1，则x＝±1，当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；

当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合条件；

若x2＝x，则x＝0或x＝1，由上可知，x＝0和x＝1都舍去．

综上所述，x＝－1.

[例3]

用适当的方法表示下列集合：

(1)已知集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)x2－4的一次因式组成的集合；

x＋y＝3，(4)由方程组的解所组成的集合．

x－y＝－1

[思路点拨]

(1)是用描述法给出的集合，还可用列举法来表示；(2)可用列举法或描述法表示；(3)将x2－4分解因式，用列举法表示即可；(4)注意方程组的解是有序数对．

[尝试解答]

(1)用列举法表示为P＝{0,2,4}．

第6页

(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n,4

(3)用列举法表示为{x＋2，x－2}．

(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}．

[一点通]

(1)用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．

(2)用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．

6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则用列举法表示B＝________. 解析：因为集合A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，当t＝－2和2时，x＝4；当t＝3时，x＝9；当t＝4时，x＝16，用列举法表示B＝{4,9,16}．

答案：{4,9,16} 7．用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)使y＝1有意义的实数x的集合；

x＋x－62(3)坐标平面内第一、三象限角平分线上的点的集合；

(4)方程x2＋(m＋2)x＋m－1＝0(m∈R)的解集．

解：(1)正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．

(2)要使y有意义，必须使分母不为0，即x2＋x－6≠0，可得x≠2且x≠－3，故集合可表示为{x|x∈R，x≠2，x≠－3}．

(3)第一、三象限的角平分线应是直线y＝x，故集合为{(x，y)|y＝x，x∈R，y∈R}．

(4){x|x2＋(m＋2)x＋m－1＝0，x∈R，m∈R}.

[例4]

已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．

[思路点拨]

解答本题可考虑利用集合相等的定义来解．即元素完全相同，还要注意集合中元素的互异性．

[精解详析]

∵0∈B，A＝B，∴0∈A. 若x＝0，则A＝{0,0，－y}不成立，

∴x≠0. 第7页

又y∈B，∴y≠0，∴只能x－y＝0. ∴x＝y. 从而A＝{0，x，x2}，B＝{0，|x|，x}．

∴x2＝|x|.∴x＝0或x＝1或x＝－1. 经验证x＝0，x＝1均不合题意，

∴x＝－1，即x＝－1，y＝－1适合．

[一点通]

(1)判断两个集合相等的依据是两集合的元素必须完全相同．

(2)解决此类问题的步骤：

①利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数．

②把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去．

b8．设a、b∈R，集合{1，a＋b，a}与{0，，b}相等，则b－a＝________. ab解析：∵{1，a＋b，a}与{0，，b}相等，

ab又a≠0，∴a＋b＝0，∴＝－1. ab∴{1，a＋b，a}＝{1,0，a} ，{0，，b}＝{0，－1，b}．

a从而a＝－1，b＝1，∴b－a＝1－(－1)＝2. 答案：2 9．数集X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}之间的关系是________．

解析：∵若n为奇数，可设n＝2k－1(k∈Z)，

则x＝4k－1. 若n为偶数，可设n＝2k(k∈Z)，则x＝4k＋1. ∴X＝Y. 答案：X＝Y

1．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征

(1)确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，两者必居其一．也就是说，某个对象是不是该集合中的元素，必须有一个明第8页

确的判断标准，这是集合最基本的特征．

(2)互异性：集合中的任何两个元素都是能区分的(即互不相同)，相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合的一个元素．

(3)无序性：在一个集合中，通常不考虑元素之间的顺序，也就是说，{a，b，c}＝{b，c，a}．

2．集合常用的表示方法是列举法和描述法

(1)一般情况下，对有限集，元素不太多的情况下，宜采用列举法，应注意：①元素间用“，”分隔；②集合中元素必须满足三个特性；③若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号．

(2)对无限集，一般采用描述法．它的优点是形式简洁，能充分体现集合中元素的特征，但应注意六点：①写清楚集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在括号内；⑥用于描述的语句要力求简明、确切．

3．解集合问题的关键是：弄清集合是由哪些元素构成的，即将抽象的问题形象化、具体化，将描述法表示的集合用列举法表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形表示集合，如用数轴表示数集，用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合．

课时达标训练（一）

一、填空题

1．在“①高一数学课本中的难题；②抛物线y＝x2－x＋1上所有的点；③方程x2＋2＝0的实数解”中，能够表示成集合的是________．

解析：构成集合的对象必须具有确定性，由于高一数学课本中的难题不确定，故①不能构成集合，②③具有确定性，可构成集合．

答案：②③

2．若1∈{x，x2}，则x＝__________. 解析：当x＝1时，x2＝1，与集合的互异性矛盾，∴x≠1；

当x2＝1时，x＝±1，根据互异性知x＝－1. 第9页

答案：－1 3．用符号“∈”或“∉”填空：

(1)0__________N*，5__________Z；

(2)23__________{x|x<11}，

32__________{x|x>4}，

(3)(－1,1)__________{y|y＝x2}．

(－1,1)__________{(x，y)|y＝x2}．

解析：(1)0∉N*，5∉Z；

(2)中；∵(23)2>(11)2，∴23>11. ∴23∉{x|x<11}；

∵(32)2>42，即32>4，∴32∈{x|x>4}；

(3)中，(－1,1)为点，{y|y＝x2}中元素为数，

故(－1,1)∉{y|y＝x2}．

又∵(－1)2＝1，∴(－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．

答案：(1)∉，∉；(2)∉，∈；(3)∉，∈

4．(山东高考改编)设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．

解析：∵x∈A，y∈A，∴x，y＝0,1,2.依次代入计算x－y，可知x－y的值可以为－2，－1,0,1,2，即集合B中元素的个数是5. 答案：5 5．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为________．

解析：由题意知－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根．

1－a＋b＝0，a＝－1，则解得

4＋2a＋b＝0，b＝－2.

∴a＋b＝－3. 答案：－3 y6．已知集合A＝x，x，1，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x2 013＋y2 014＝________，A＝B＝________. y解析：根据集合相等的定义知x＝0或＝0. x第10页

yy当x＝0时，无意义，所以只能＝0，得y＝0，

xx则A＝{x,0,1}，B＝{x2，x,0}．

又∵A＝B，∴x2＝1，∴x＝1或x＝－1，

当x＝1时，A＝{1,0,1}，B＝{1,1,0}，不符合集合元素的互异性，故舍去；

当x＝－1时，A＝{－1,0,1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．

∴x2 013＋y2 014＝(－1)2 013＋02 014＝－1. 答案：－1

{－1,0,1} 二、解答题

7．已知A＝{1,2，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，如果A＝{1,2,3},2∈B，求实数a的值．

解：由A＝{1,2，x2－5x＋9}＝{1,2,3}，知x2－5x＋9＝3，解得x＝2或x＝3，又2∈B，则x2＋ax＋a＝2，

2当x＝2时，a＝－，

37当x＝3时，a＝－. 427故a＝－或－. 348．用适当的方法表示下列集合．

9(1)A＝{x|∈N，x∈N}；

9－x(2)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；

(3)不等式3x－8≥7－2x的解集；

(4)坐标平面内抛物线y＝x2－1上的点的集合．

9解：(1)∵∈N，x∈N，

9－x9∴当x＝0,6,8这三个自然数时，＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．

9－x(2)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，

x＝1x＝2x＝3∴或或，

y＝3y＝2y＝1

∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．

(3)由3x－8≥7－2x可得：x≥3，

第11页

所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．

(4){(x，y)|y＝x2－1}．

9．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则(1)若a＝2，求出A中其他所有元素；

(2)0是不是集合A中的元素？请说明理由．

1＋2解：(1)由2∈A，得＝－3∈A. 1－21－31又由－3∈A，得＝－∈A. 21＋311－211再由－∈A，得＝∈A. 2131＋211＋31由∈A，得＝2∈A. 311－311故A中其他所有元素为－3，－，. 23(2)0不是集合A中的元素．

1＋0若0∈A，则＝1∈A，

1－01＋a而当1∈A时，不存在，故0不是集合A中的元素．

1－a

1＋a∈A. 1－a第12页