2.1 圆锥曲线公开课教案

以折纸引入圆锥曲线

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教材分析

“圆锥曲线”是《普通高中课程标准实验教科书数学2-1（选修）》（苏教版）的第2章“圆锥曲线与方程”中的第1节．教材的顺序是总-分-总，先是从圆锥截线的角度认识圆锥曲线，再分别对椭圆、双曲线、抛物线进行研究，最后给出圆锥曲线的统一定义．教材在本节开篇通过一个平面截一个圆锥面，出现三种不同的曲线，由此引入圆锥曲线．这样的引入方式对学生的空间想象能力的要求较高，学生不易理解，也难以激发学习兴趣．而教材的习题中就有“操作题”，这就为学生动手操作提供了机会．因此，可以充分利用教材这一资源，从折纸出发，引入新知．不仅调动学生的积极性，还能帮助学生从本质上理解圆锥曲线．

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教学过程

2.1 当场折纸，激发兴趣

师：同学们，小时候你们都玩过折纸，读了高中之后还玩过吗？

生：（自由回答）．

师：今天我也来带大家一起折一折．首先取一张白纸，画上一个以F1为圆心，2a为半径的定圆，按以下操作：第一步，取圆内一点F2（不同于F1）（如图1）；第二步，任取圆上一点P1，然后将纸片对折使点P1与点F2重合，再将纸片展开，用虚线描出折痕l1（如图2）；第三步，连接P1 F1并延长，交直线l1于点M1（如图3）；第四步，参照第二、三步，再任意取点P2

、P3、

P4

……，并相应地找出点M2

、M3、M4……；第五步，用光滑的曲线将点M1 M2 M3 M4……连接起来．大家知道连起来后是什么图形吗？

设计意图

从折纸出发，勾起学生童年的记忆，吸引学生的眼球，调动学生的学习积极性．以动手的形式引入新知，不仅保证了每位同学参与其中，还让学生体验折纸背后的数学知识，感受数学与折纸的紧密联系，感知高中数学并不是脱离现实世界的．

2.2 展示成果，积极讨论

教师在教室巡视，看看学生的完成程度．若有学生有困难，可以给予指导．等大部分学生操作完成后，选择某个学生的成果展示．

师：我们来看看甲同学的作品，你们看一看这些点的连线是什么图形？（如图4）

生：四边形．

师：那你们再看看乙同学的（如图5），又是什么图形？

生：椭圆．

师：那到底是什么图形？为什么甲同学和乙同学的图形不一样？

生：应该是椭圆，甲同学所做的点太少了．

师：是的，甲同学做的点偏少了，可是折纸取点终究是有限的，因此所做点的连线到底是不是椭圆呢？下面就运用电脑软件GeoGebra，模仿以上折纸步骤进行作图（如图6），发现点M1 M2 M3 M4……连接起来的曲线的确是一个椭圆．

设计意图

展示学生的折纸成果，既是对学生动手操作的一种肯定与鼓励，同时在展示成果时，发现学生可能出现的问题．针对这些问题，可以引导学生讨论，这既调动了课堂的学习氛围，又让学生开动大脑进行思考，发现问题所在．为了验证结论的正确性，将现代信息技术应用的课堂，丰富了教学手段．

2.3 抛出问题，探究新知

师：同学们你们在刚刚不断折纸的过程中发现椭圆上的点M与两定点F1

、F2的距离和（MF1 

MF2）的值始终是多少吗？你们可以讨论讨论．

生：始终等于圆的半径2a．

师：那我们可以用数学的语言加以证明吗？

生：连接M1P1，由于点F2与点P1经折叠重合，点M1在折线上，故M1F2

 M1P1，因而M1F1 

M1 F1

M1F1 

M1P1

 2a．

师：那这个常数2a与距离F1F2大小有什么关系？

生：半径2a是大于F1F2的，这是因为点F2是圆内一点．

师：很好，我们通过折纸展现了椭圆的形成过程及其原理．同学们，老师已经给了那么许多提示，再来思考一下满足什么条件的点的轨迹能够形成椭圆？你们能不能尝试给椭圆下一个定义？

生：椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆．

图

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图2

图3

图4

图5

图6

图7

设计意图

通过一步步询问引导，让学生自主探究出椭圆的定义，让每位同学享受到自己主动习得知识的快感，避免了满堂灌的尴尬局面．学生通过自己努力，建构数学知识，最终得到椭圆的定义，远比教师直接告知要印象深刻，这也为后续知识的学习打下夯实的基础．

2.4 由此及彼，触类旁通

在学生掌握了椭圆的定义之后，可以进一步追问．

师：如果操作第一步改成：取圆外一点F2，其他操作不变，又会得到什么呢？在这个探究的过程中，可以完全由学生自主完成．学生经过以上操作，经过折纸描点，会得到类似于双曲线的图像．教师再利用电脑软件进行操作，证实得到的的确是双曲线（如图6）．类似地，同学们，能不能由椭圆定义发现的过程，由此及彼，推出双曲线的定义呢？

生：连接MF2，有︱MF2



MF1︱︱MP2



MF1︱ 2a（常数），并且由于F2是圆外一点，所以半径2a是小于F1F2的．因此得到双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离的差得绝对值等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹叫双曲线．

设计意图

对于高中学生而言，完全有能力进行数学归纳、推广，关键是我们的教师是否提供给学生这样的机会．稍微改变条件，引导学生从椭圆类推到双曲线．在这个过程中，不仅训练了学生的数学思维，还让学生深刻体会椭圆与双曲线之间内在的联系，加深对圆锥曲线的理解，降低学习圆锥曲线的难度．

2.5

学生反馈，总结推广

通过折纸引入圆锥曲线，大部分学生能掌握圆锥曲线的本质．学生普遍表示这样的教学方式增加了趣味性，让数学变得容易，也增加了他们学习数学的信心，希望能有更多的折纸教学．事实上，折纸不仅可以用于圆锥曲线，还可以运用于立体几何、数列等等．

3 案例反思

信息技术的提高，各种多媒体课件进入课堂，给学生视觉上一种直观表现，却弱化了学生的动手能力．而折纸教学，学生在折叠中，观察探究数学知识的形成过程，从而思考总结出对数学的感悟．因此，我们可以将折纸引入课堂，让学生拥有展示自己才华的机会．这也就需要教师多思考如何运用折纸进行教学，让学生参与动手操作．本文通过具体的折纸教学案例展示，希望给教师一些启迪．