折线型图象表示的变量间关系优秀公开课教案

4.2用关系式表示的变量间的关系

●教学目标

（一）教学知识点

1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感. 2.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系. 3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系. （二）能力训练要求

1.发展符号感和抽象思维能力. 2.发展有条理的思考和表达能力，用变化的思想研究自变量和因变量的关系. （三）情感与价值观要求

继续体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展对数学的认识. ●教学重点

1.列关系式表示两个变量的关系. 2.根据图形的面积公式或体积公式来求两个变量之间的关系式，会利用关系式根据任何一个自变量的值，求出相应因变量的值. ●教学难点

将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来. ●教学方法

启发——自主探究相结合

在教师的启发和学生已有基础知识下，鼓励他们实践、探索变化过程中的变量关系、数量关系，体会自变量和因变量的依存关系，借助关系式表示变量之间的关系. ●教具准备

课件演示一：三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动；

课件演示二：圆锥的底面半径由小到大的变化；

课件演示三：圆锥的高由小到大的变化. ●教学过程

Ⅰ.创设情景，引入新课

［师］我们先来看下面的问题：

1.（1）如果正方形的边长为a，则正方形的周长C=________;面积S=________；

（2）圆的半径为r,则圆的面积S=________; （3）三角形的一边为a，这边上的高为h，则三角形的面积S=________；

（4）梯形的上底、下底分别为a、b,高为h，则梯形的面积S=________; （5）圆锥的底面的半径为r,高为h，则圆锥的体积V=________; （6）圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积V=________. 2.填写下表并回答问题：

n

m

1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 10 （1）表格反映的是哪两个变量的关系？谁是自变量？谁是因变量？

（2）根据表格中的数据，说一说m是怎样随n而变化的？

［生］1.（1）C=4a,S=a;（2）S=πr;（3）S=（6）V=πr·h. 第

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222111ah;（4）S=（a+b）h;（5）V=πr2·h;223

2.（1）表格中反映的是m和n这两个变量的关系，其中n是自变量，m是因变量. （2）m随n的增大而逐渐增大. ［师］在第2题中，我们借助于表格，反映了两个变量的关系.我们还能不能借助于其他的形式来反映两个变量m和n的关系呢？

［生］从表格中我发现有一个规律，每一个m的值都比对应的n的值大3.因此用等式m=n+3可以反映两个变量m,n的关系. ［师］真棒！以前我们学习过的一元一次方程是含有未知数的等式，如今我们又要用等式来表示两个变量的关系，你们认同吗？

［生］认同！

［师］很好.我们在这里就把m=n+3这个等式叫做m随n变化的关系式. Ⅱ.讲授新课

——根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系. 1.变化中的三角形

看一看：课件演示一

看图回答下列问题：

图6－2中的三角形ABC底边BC上的高是6厘米，当三角形的顶点C沿着底边所在直线向B点运动时，三角形的面积发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量、因变量分别是什么？

2（2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米）可以表示为________. 2（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从________厘米变化到2________厘米.

图6－2 ［师］从上面的课件演示过程来回答上面的问题. ［生］（1）自变量是△ABC的底边BC的长，因变量是△ABC的面积. ［生］（1）中的自变量也可以是∠ACB. （2）y=3x

（3）当底边长是12厘米时，y=1×12×6=36（平方厘米）；当底边长是3厘米时，21y=×3×6=9（平方厘米）.因此当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从36厘2米变化到9厘米. ［师］从同学们的回答中可以看到y=3x表示了三角形的底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随变量x变化的关系式.因此，关系式是我们表示变量之间关系的又一种方法.大家可以比较一下这两种表示变量关系的方法——表格法和关系式法. 第

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（让同学们与同伴交流，教师可倾听一下同学们在下面的说法）. ［生］用表格法表示变量之间的关系，只有自变量和因变量对应的的有限个值，但较直观.而关系式表示变量之间的关系，根据自变量的任何一个值，便可求出相应的因变量的值. ［师］同学的分析很精彩.同学们还记得上学期见过的“数值转换机”吗？看图6－3：直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系，即“输入”一个x的值就可以“输出”一个y的值.例如：输入x=2,则就可输出y=3×2=6.

图6－3 2.变化中的圆锥

做一做：课件演示二

如图6－4，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？

3（2）如果圆锥底面半径为（r厘米），那么圆锥的体积V（厘米）与r的关系式为________. 3（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由________厘米变化到3________厘米.

图6－4 ［师］根据课件演示回答上述问题. ［生］（1）自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积；

（2）V=42πr; 3440033π厘米→π厘米. 33（3）当底面半径r由1厘米→10厘米时，圆锥的体积V由做一做：课件演示三

看图回答下列问题: 如图6－5，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？

3（2）如果圆锥的高为h（厘米），那么圆锥的体积V（厘米）与h的关系式为________. 33（3）当高由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由_______厘米变化到_______厘米. 第

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图6－5 ［生］（1）自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积；

（2）V=4πh; 344033厘米→厘米. 33［师］在课件演示二中，我们知道当底面半径即自变量r由1厘米→10厘米时，因变440033量V由π厘米→π厘米；而在课件演示三中，当自变量h也是由1厘米→10厘米334433时，因变量V却是由π厘米→π厘米.为什么呢？

3342［生］这是由于它们的关系式不同.r与V的关系式是V=πr;而h与V的关系式是34V=πh. 3（3）当h由1厘米→10厘米时，圆锥的体积是由Ⅲ.课堂练习

1.随堂练习第1题

d来表示.根据150这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000时，计算相应的T值，并用表在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10－格表示所得结果.

图6－6 ［分析］本题的目的是学生进一步认识现实生活中存在的变量之间的关系，体会自变量和因变量数值之间的对应关系.在解决问题的过程中，学生可利用计算器，并保留两位小数. 解：计算出相应的T的值填入下表：

高度d/m

0 200 400 600 800 1000 温度T/℃

10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33 2.补充练习

圆柱的高是10厘米，圆柱的底面半径为R厘米，圆柱的侧面展开图的面积为S平方厘米. 第

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（1）写出圆柱的侧面展开图的面积S与圆柱底面半径R之间的关系式. （2）用表格表示R从1厘米到10厘米（每一次增加1厘米）时，S相应的值. （3）R每增加1厘米，S如何变化？

解：（1）S=20πR; （2）表格如下

底面半径R

侧面积S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20π

40π

60π

80π

100π

120π

140π

160π

180π

200π

2（3）R每增加1厘米，S增加20π厘米. Ⅳ.课时小结

［师］这节课，同学们有何体会和收获呢？

［生］这节课，我们研究了某些图形中变量之间的关系，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响. ［生］我们知道了变量之间的关系除了可以用表格表示外，还可以用关系式，并且初步体会了自变量和因变量的数值对应关系. ［生］课件演示使我们感受到学习数学的兴趣. ［生］用数学符号能表示现实世界中的一些规律，能用数学的角度去看世界. ［师］看来，同学们的收获还真不小！祝你们生活的快乐！

Ⅴ.课后作业

1.课本读一读，去体会变量与变量之间的相互依赖关系在生活中广泛存在.在这个问题中，告诉我们随着地球内部厚度的增加，温度也在发生着变化. 2.课本习题4.2 1、2. Ⅵ.活动与探究

我省是水资源比较贫乏的省份之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：

月份

3 4 用水量（m）

5 9 3水费（元）

7.5 27 设某户该月用水量为x（立方米），应交水费y（元）. （1）求a、c的值，并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时，y与x之间的关系式；

（2）若该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？

［过程］该题结合生活实际，立意新颖，可以培养学生节约用水的社会意识. 在已知自变量和因变量的数值对应关系及根据题意，由表格读取信息得到的用水量和水费的关系式，求a、c的值，只需利用方程的思想.同时还要有分类讨论的思想去解决该问题. ［结果］（1）依照题意，有

当x≤6时，y=ax; 当x＞6时，y=6a+c（x－6）. 由已知，得7.5=5a

① 27=6a+3c

②

由①得a=1.5 把a=1.5代入②得c=6，

所以y=1.5x（x≤6）;y=9+6（x－6）=6x－27（x＞6）. 第

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（2）将x=8代入y=6x－27（x＞6）得

y=6×8－27=21（元）

所以，该户5月份的水费是21元. ●板书设计

4.2用关系式表示的变量间的关系

一、看一看

课件演示一：变化中的三角形

①关系式表示变量之间关系的又一种方法. ②根据任何一个自变量的值，利用关系式，便可求出相应的因变量的值. 二、做一做

课件演示二：高为4厘米时，圆锥的体积与底面半径R的关系:V=课件演示三：V=42πr. 34πh. 3三、练习（由学生板演）

四、小结

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