同底数幂的除法教学内容概述

北师大版七年级数学下册第二单元

同底数幂的除法教学设计

教学目标：

（一）基本知识：

1.经历探索同底数幂除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义。

2.

了解同底数幂除法的运算性质，并能解决一些实际问题。

3.

理解零指数幂和负整数指数幂的意义。

(二)

基本技能：

1.在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和有条理的表达能力。

2.提高学生观察、归纳、类比、概括等能力。

(三)情感与价值观要求

在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，提高数学素养。

教学重点：同底数幂除法的运算性质及其应用.

教学难点：零指数幂和负整数指数幂的意义.

教学方法探索——引导相结合

教具准备：多媒体课件

教学过程：

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

看课本图片

图1－15

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一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？

［师］这是和数学有密切联系的现实世界中的一个问题，下面请同学们根据幂的意义和除法的意义，得出这个问题的结果。

［生］根据题意，可得需要这种杀菌剂1012÷109个. 而1012÷109=10×10×10=1000(个)

［生］我是这样算1012÷109的：1012÷109=(109×103)÷109 =103=1000。

［师］1012÷109是怎样的一种运算呢？

［生］1012×109是同底数幂的乘法运算，1012÷109我们就称它为同底数幂的除法运算。

［师］很好！通过上面的问题，我们会发现同底数幂的除法运算和现实世界有密切的联系，因此我们有必要了解同底数幂除法的运算性质。

Ⅱ.了解同底数幂除法的运算及其应用

［师］下面我们就先来看同底数幂除法的几个特例，并从中归纳出同底数幂除法的运算性质.(出示投影片)

做一做：计算下列各式，并说明理由(m>n).

(1)108÷105;

(2)10m÷10n;

(3)(－3)m÷(－3)n.

［生］解：(1)108÷105

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=(105×103)÷105

——逆用同底数幂乘法的性质

=103；

［生］解：(1)108÷105 = =

——幂的意义

=1000=103；

［生］解：(2)10m÷10n = ——幂的意义

= =10m－n ——乘方的意义

(3)(－3)m÷(－3)n =

——幂的意义

=

——约分

=(－3)m－n ——乘方的意义

［师］我们利用幂的意义，得到：

(1)108÷105=103=108－5; (2)10m÷10n=10m－n(m>n); (3)(－3)m÷(－3)n=(－3)m－n(m>n).

观察上面三个式子，运算前后指数和底数发生了怎样的变化？你能归纳出同底数幂除法的运算性质吗？

［生］从上面三个式子中发现，运算前后的底数没有变化，商的指数是被除数与除数指数的差.

［生］从以上三个特例，可以归纳出同底数幂的运算性质：

am÷an=am－n(m,n是正整数且m>n).

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［生］小括号内的条件不完整.在同底数幂除法中有一个最不能忽略的问题：除数不能为0.不然这个运算性质无意义.所以在同底数幂的运算性质中规定这里的a不为0，记作a≠0.在前面的三个幂的运算性质中，a可取任意数或整式，所以没有此规定.

［师］很好！这位同学考虑问题很全面.所以同底数幂的除法的运算性质为： am÷an=am－n(a≠0,m、n都为正整数，且m>n)运用自己的语言如何描述呢？

［生］同底数幂相除，底数不变，指数相减.

［师］能用幂的意义说明这一性质是如何得来的吗？

［生］可以.由幂的意义，得

am÷an= = =am－n.(a≠0)

［例1］计算：

(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3; (3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2; (5)(m－n)8÷(n－m)3;(6)(－m)4÷(－m)2.

(7)地震的强度通常用里克特震级表示.描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震.加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？

分析：开始练习同底数幂的除法运算时，不提倡直接套用公式，应说明每一步的理由，进一步体会乘方的意义和幂的意义.

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解：(1)a7÷a4=a7－4=a3;(a≠0)

(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3;(x≠0)

(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3;(xy≠0)

(4)b2m+2÷b2=b(2m+2)－2=b2m;(b≠0)

(5)(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5;(m≠n)

(6)(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2=m2.(m≠0)

(7)根据题意，得：

106÷104=106－4=102=100 所以加利福尼亚的地震强度是荷兰的100倍。

Ⅲ.探索零指数幂和负整数指数幂的意义

想一想：

10000=104, 16=24, 1000=10( ), 8=2( ), 100=10( ), 4=2( ), 10=10( ). 2=2( ). 猜一猜

1=10( ), 1=2( ), 0.1=10( ), =2( ), 0.01=10( ), =2( ), 0.001=10( ). =2( )

［师］我们先来看“想一想”，你能完成吗？完成后，观察你会发

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现什么规律？

［生］1000=103， 8=23，

100=102， 4=22，

10=101. 2=21.

观察可以发现，在“想一想”中幂都大于1，幂的值每缩小为原来的

(或

)，指数就会减小1.

［师］你能利用幂的意义证明这个规律吗？

［生］设n为正整数，10n>1,当它缩小为原来的

时，可得10n×

= = = =10n－1;又如2n>1,当它缩小为原来的

时，可得2n×

= =2n÷2=2n－1.

［师］保持这个规律，完成“猜一猜”.

［生］可以得到猜想

1=100， 1=20，

=0.1=10－1, =2－1, =0.01=10－2, =2－2, =0.001=10－3. =2－3.

［师］很棒！保持上面的规律，大家可以发现指数不是我们学过的正整数，而出现了负整数和0.

正整数幂的意义表示几个相同的数相乘，如an(n为正整数)表示n个a相乘.如果用此定义解释负整数指数幂，零指数幂显然无意义.根据“猜一猜”，大家归纳一下，如何定义零指数幂和负整数指数幂呢？

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［生］由“猜一猜”得

100=1，

10－1=0.1= , 10－2=0.01= = , 10－3=0.001= = . 20=1 2－1= , 2－2= = , 2－3= = . 所以a0=1, a－p= (p为正整数). ［师］a在这里能取0吗？

［生］a在这里不能取0.我们在得出这一结论时，保持了一个规律，幂的值每缩小为原来的

,指数就会减少1，因此a≠0.

［师］这一点很重要.0的0次幂，0的负整数次幂是无意义的，就如同除数为0时无意义一样.因为我们规定：a0=1(a≠0);a－p= (a≠0,p为正整数) 我们的规定合理吗？我们不妨假设同底数幂的除法性质对于m≤n仍然成立来说明这一规定是合理的. 例如由于103÷103=1,借助于同底数幂的除法可得103÷103=103－3=100,因此可规定100=1.一般情况则为am÷am=1(a≠0).而am÷am=am－m=a0,所以a0=1(a≠0);

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而am÷an= (m

［例3］用小数或分数表示下列各数：

(1)10－3;(2)70×8－2;(3)1.6×10－4.

解：(1)10－3= = =0.001;

(2)70×8－2=1× = ;

－4=1.6× =1.6×0.0001=0.00016.

Ⅳ.课时小结

［师］这一节课收获真不小，大家可以谈一谈.

［生］我这节课最大的收获是知道了指数还有负整数和0指数，而且还了解了它们的定义：a0=1(a≠0),a－p= (a≠0,p为正整数).

［生］这节课还学习了同底数幂的除法：am÷an=am－n(a≠0,m,n为正整数，m>n),但学习了负整数和0指数幂之后，m>n的条件可以不要，因为m≤n时，这个性质也成立.

［生］我特别注意了我们这节课所学的几个性质，都有一个条件a≠0,它是由除数不为0引出的，我觉得这个条件很重要.

［师］同学们收获确实不小，祝贺你们！

Ⅴ.课后作业

1.课本P21，习题1.7第1、2、3、4题. 2.总结幂的四个运算性质，并反思作业中的错误.

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●板书设计

同底数幂的除法

1.同底数幂的除法

归纳：am÷an=am－n(a≠0,m、n都是正整数且m>n) 说明：am÷an= = =am－n. 语言描述：同底数幂的除法，底数不变，指数相减2.零指数幂和负整数指数幂

a0=1(a≠0)

a－p= (a≠0,p为正整数) .

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