同底数幂的除法板书设计及设计说明

第一章

整式的乘除

教材分析

本课“同底数幂的除法”是四种幂的运算中的最后一种，它与前面三种幂的运算有着类似的法则探索过程，最大的区别在于前面三种运算都是乘法（乘方），而它是除法，因此教学时就要注意两点：一是与数的除法类似，要求除数（式）不为0，二是会出现零指数幂和负整数指数幂,对它们意义的理解将是难点. 本课共分两课时，第一课时，主要让学生探索同底数幂的除法法则，了解零指数幂和负整数指数幂；第二课时，主要是用科学记数法表示绝对值较小的数据.

学生情况

在七年级上册的“有理数及其运算”和“整式及其加减”中，学生已经学习了数的运算、字母表示数等内容，并且类比有理数的加减学习了整式的加减运算.由“数的运算”转化到“式的运算”是代数学习的重点内容，本章“整式的乘除”是让学生在前面的基础上类比有理数的乘除（乘方）来学习整式的乘除运算.在探索前面三种幂的运算法则的过程中，学生已经历了由特殊到一般的归纳过程，并能用幂的意义加以说明，具备了一定的推理能力和表达能力，为本节探索同底数幂的除法法则积累了充足的活动经验.因此本节法则的探索对学生而言并不困难，教学时可以放手让学生自主进行；此前学生只接触过正整数指数幂，因此对零指数幂和负整数指数幂意义的理解是本课的难点，教学时可以通过设计问题串，让学生经历观察、归纳、猜

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想、解释的过程来加深理解.

教学目标

1．知识与技能：会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题，了解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算. 2．过程与方法：经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，经历观察、归纳、猜想、解释等数学活动，体验解决问题方法的多样性，发展学生的合情推理和演绎推理能力以及有条理的表达能力. 3．情感与态度：在解决问题的过程中了解数学的价值，体会数学的抽象性、严谨性和广泛性. 教学重点

同底数幂除法法则的探索和应用，理解零指数和负整数指数幂的意义，将运算法则拓广到整数指数幂的范围

教学难点

理解零指数幂和负整数指数幂的意义

教学过程

复习回顾

前面我们学习了哪些幂的运算?

在探索法则的过程中我们用到了哪些方法？

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.amanamn

（m,n是正整数）

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（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.(am)namn（m,n是正整数）

（3）积的乘方等于积中各因数乘方的积.(ab)nanbn

(n是正整数) 情境引入

一种液体每升含有 1012

个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死 109

个此种细菌，

（1）

要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

（2）

你是怎样计算的？

（3）

你能再举几个类似的算式吗？

解决问题（1）学生可能根据题意列出算式1012109，也有可能列1012出9，应让学生认识到两种形式的实质是一样的.

10问题（2）用到的是有理数的运算，教学时应鼓励学生独立思考，在黑板上呈现不同的计算过程，并说明每一步的算理，学生可能出现不同的解决方法：

可能先将幂还原成大数再用分数的约分来计算：

10121010........10101091010101000（滴）；

1010.........1010129也可能先逆用同底数幂的乘法再进行约分来计算：

1091031010(1010)101031000（滴）

910129939

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问题（3）应尽可能多的在黑板上呈现学生举的算式，在教学时可以通过追问“这些算式举的对不对？”帮助学生抓住特征：同底数幂、除法.还可以再追问“这些算式应该叫做什么运算呢？”引入这节课的研究对象：同底数幂的除法运算. 归纳法则

1.计算你列出的算式

2.计算下列各式，并说明理由（m>n）

11(1)10m10n;

(2)(3)m(3)n;

(3)()m()n;

223.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗？

活动目的：让学生从有理数的运算出发，由特殊逐渐过渡到一般，得到同底数幂的运算法则：amanamn(a≠0，m,n是正整数，且m>n)，再运用幂的意义加以说明.在此过程中，发展学生类比、归纳、符号演算、推理能力和有条理的表达能力.

有了前面探索法则的经验基础，类比有理数的计算过程学生不难得出m个amn个aaaamnaaaaaam-n，但学生可能会忽视“a≠0，m,n是正aaan个a整数，且m>n”的要求，教学时可以追问“a都可以取哪些值呢？”来引导学生类比有理数的除法中对除数不为0的要求来理解这里的a≠0，再借助上面的计算约分时出现m-n个a的过程得到m>n.而当m=n和m

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例1 计算：

(1)a7a4;

(2)(x)6(x)3;

(3)m8m2;

(4)(xy)4(xy);

(5)b2m2b2;

(6)(mn)8(mn)3;

活动目的：这里为了更加全面的巩固同底数幂除法运算，在教材的基础上增加了（3）和（6）两个小题，这些题目由易到难，目的在于逐渐加深学生对同底数幂的除法的理解，帮助学生体会amanamn中的a可以代表数，也可以代表单项式、多项式等. 探索拓广

1. 做一做：

104 =10000， 24 =16

10（）=1000， 2（）=8

10（）=100， 2（）=4

10（）=10， 2（）=2

2. 猜一猜：

下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流：

10（）=1 2（）=1

121 10（）=0.01 2（）=

4110（）=0.001 2（）= 8 10（）=0.1 2（）=

3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？

4.你认为这个规定合理吗？为什么？

活动目的：学习了有理数的乘方和前面几种幂的运算后，学生对正整

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数指数范围内幂的意义理解的很好：当p为正整数时，ap表示p个a相乘，但是a0不能理解成0个a相乘，同样ap也不能理解成-p个a相乘，因此理解零指数幂和负整数指数幂的意义对学生而言是个难点.教科书设计了“想一想”和“猜一猜”通过简单的有理数幂的探索，让学生猜想得到零指数幂和负整数指数幂的意义.这里在教科书原有的基础上又补充了3、4两个问题，目的是就让学生完整的经历观察、归纳、猜想、解释的过程，从而感悟先由具体问题概括出结论，再通过一般性证明来说明结论的合理性这样一个解决问题的方法，数学合情推理和演绎推理能力的培养就蕴含在这样的思维过程之中.同时，不同的解释思路可以帮助学生从不同的角度、更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义. 从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明：

我们前面这样推导了同底数幂的除法法则

m个amn个aaaamnaaaaaam-n，（a≠0，m,n是正整数，且m>n）

aaan个a当m=n时，我们可以类似的得到

m个aaaaa0amam1，（a0，m,n为正整数）；

aaam个a当m

apm个aaaa111aman（a0，p为正整数）. nmp，aaaaaaaan个anm个a拓广

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例2 计算：用小数或分数分别表示下列各数：

(1)103(2)7082;(3)1.6104

2. 议一议：计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流

(1)7375;(2)3136;11(3)()5()2;22(4)(8)0(8)2

3. 当指数拓广到零和负整数范围后，我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则是否也成立呢？

活动目的：活动1目的是巩固学生对零指数幂和负整数指数幂意义的理解，活动2、3将所有幂的运算法则都拓广到整数指数幂的范围，可以帮助学生形成完整

反馈延伸

1.下面的计算是否正确？如有错误请改正：

(1)b6b2b3;

(2)a10a1a9;

(3)(bc)4(bc)2b2c2;

(4)xn1x2n1xn.

2.计算

(1)(y)3(y)2;

(2)x12x4;

(3)mm0;

(4)(r)5r4;

(5)knkn2;

(6)(mn)5(mn)

拓展延伸：（1）(ab)8(ba)3

（2）（－38）÷（－3）4

活动目的：运算能力的形成不是一蹴而就的，它的发展是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地进行的，因此这里设计了由易到难的两组练习题，对本节课所学的知识进行巩固和拓展，发展学生的运算能力.

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课堂小结

1.这节课你学到了哪些知识？

2.现在你一共学习了哪几种幂的运算？它们有什么联系与区别？谈谈你的理解

3.我们在探索运算法则的过程中用到了哪些方法？

活动目的：本节课是幂的运算中最后一节，因此这里不仅回顾了本节课所学的内容，还将这四种幂的运算进行了对比，对探索过程中的类比、归纳等数学方法进行回顾.这样设计的目的是加深学生对四种幂的运算的理解，更好地形成知识体系，帮助学生体会解决问题的思路与方法的共性. 1．完成课本习题1.4 2．预习作业：

（1）纳米是一种长度单位， 1米=1,000,000,000纳米，你能用科学记数法表示1,000,000,000吗？反过来，1纳米等于多少米呢？你能用今天学的知识解决吗？这个结果还能用科学记数法表示吗？

（2）你知道生物课中接触的洋葱表皮细胞的直径是多少吗？照相机的快门时间是多长呢？中彩票头奖的可能性是多大？头发的直径又是多少呢？生活中你还见到过哪些较小的数？请你查阅资料，下节课与同伴交流

教学设计反思：

1.关注知识和方法的前后衔接

在本节课的教学设计中有以“旧”引“新”：

借助前面的经验让

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学生自主探索同底数幂的除法法则，在多个环节中类比“数”来解决“式”的问题；也有讲“新”联“旧”：将新学的和前面三种幂的运算法则都拓广到整数指数幂的范围，在小结中对四种幂的运算进行对比回顾.这样的设计充分利用了学生原有的知识和经验基础，有利于学生知识体系的形成，让学生深刻体会了解决不同的问题时蕴涵的相同数学思想方法. 2.改进教学和评价方式，为学生提供自主探索的机会

数学教学活动，应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考；学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程，因此我们的数学课堂应该努力改进教学和评价的方式，给学生提供更多自主探索的机会.在这节课的设计中就进行了一些尝试：在学习“探索同底数幂的除法法则”和“将幂的运算拓广到整数指数幂范围”这两个重点时，根据学生已有的知识和经验基础，将举特例到一般验证的过程大胆的放手给学生，教师只做适当的引导，让学生通过自主探索、合作交流的方式完成了对知识和方法的学习. 对学生的评价也作出了相应的改进：不仅关注习题的正确率，而且更加注重对学生以下两方面的评价：一是学生在活动中的投入程度，如是否能积极主动地投入活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的意见和建议等；二是学生在活动中的水平，如是否能通过独立思考探索出运算法则，是否能有条理的表达自己的思考过程，是否有独特的解决问题的方法，是否能进行反思并提出一些新的问题等.采用这样的教学和评价方式可以更好地提高学生解决问题的能力，丰富他

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们解决问题的策略，从而实现对数学思维的培养. 实际教学时，如果面对的学生知识和能力的基础更好，放手给学生的内容还可以再多一些，甚至可以让学生课前自主学习，课上通过学生自主讲解展示学习效果，教师只需要根据学生自学的情况点拨部分难点（例如零指数幂、负整数指数幂的意义等）即可.

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