3.3 勾股定理的简单应用教案和课堂实录

数学教学设计

3.3 勾股定理的简单应用

1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题；

教学目标

2．构造直角三角形及正确解出此类方程；

3．运用勾股定理解释生活中的实际问题．

教学重点

能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．

在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三教学难点

角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．要善于运用直角三角形三边关系，关键是根据实际情形准确构造出直角三角形．

教学过程（教师）

开场白:同学们，前一阶段我们学习了勾股定理，勾股定理在数学研究中具有极其重要的地位，数学大师华罗庚曾经说过：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！咱们今天就来继续体验勾股定理在数学中的应用．

投影：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！——华罗庚

交流

思考，讨论并交流线段的巩固复习勾股定理．

学生活动

进入状态，兴致盎然．

设计思路

给学生展现一个美妙的前景，激发学生学习数学的欲望．

从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组长的计算．

成许多直角三角形．已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长？

（图1）

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今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？

解：如图，我们用线段OA进一步加深理解和线段AB来表示竹子，其中线勾股定理．

意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10段AB表示竹子折断部分，用线尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3段OB来表示竹梢触地处离竹尺，试问折断处离地面多高？

根的距离．

A

X O (10－X) 3 （图2）

B

设OA＝x，则AB＝10－x，

∵∠AOB＝90°，

∴OA2＋OB2＝AB2，

∴x2＋32＝（10－x）2，

∴OA＝x＝91

（尺），

20答：竹子折断处离地面有91

尺．

20“引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题解：如图BC为芦苇长，

巩固练习．

“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引AB为水深，AC为池中心点距葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”岸边的距离．设AB＝x尺，则题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，BC＝（x＋1）尺，

在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面根据勾股定理得：x2＋521尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向＝（x＋1）2，

拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

解得：x＝12，所以芦苇长为12＋1＝13（尺），

答：水深为12尺，芦苇长第

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为13尺．

A C

B （图3）

观察下面几幅图像，同学之间议一议：

勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？

积极思考，回答问题．

由学生熟悉的情勾股定理主要应用于求线景入手，给学生一个段的长度、图形的周长、面积；

展示才华的机会，增勾股定理的逆定理用于判强学生学习数学的兴断三角形的形状． 趣．

实践探索一

例1 如图4，等边三角形ABC的边长是6，求△ABC的面积．

A 互相讨论，踊跃回答：

通过学生相互讨参考答案：解：作AD⊥BC，

论使学生主动参与到∵△ABC是等边三角形，

学习活动中来，培养学生合作交流精神和11∴BD＝

BC＝

×6＝3，

22发散思维能力，同时在Rt△ABC中， 拓展学生的知识面．

＝B D （图4）

C

AD＝AB2－BD2

62－32

＝27 ≈5.196，

11S△ABC＝

BC·AD≈

×622×5.196＝15.58≈15.6．

练习：

1．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的面积

2．如图6，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，AC＝13，求△ABC的周长和第

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面积． A A B D C

B D C

（图5）

（图6）

实践探索二

1．思考：如图7，在△ABC中，AB＝25，BC＝7，AC＝24，问△ABC是什么三角形？

C 小组讨论，代表回答：

通过学生相互讨1．由勾股定理逆定理可以论，提高学生的观察发现△ABC是直角三角分析能力，培养学生形．

善于思考的良好习惯．

A （图7）

B

2．解：∵AD是BC边上的中线，

11∴BD＝CD＝

BC＝

×22

2．例：如图8，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD＝24，求AC． A B D （图8）

C

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20＝10．

∵AD2＋BD2＝576＋100

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3．如图9，在△ABC中，

AB＝15，AD＝12，BD＝9，AC＝13，求△ABC的周长和面积．

A ＝676，

AB 2＝262＝676，

∴AD2＋BD2＝AB2，

∴∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．

∴AC＝AB＝26．

B D （图9）

C

总结

从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系，把研究等腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题的一种策略．

课后作业

课本P87练习1、2．

讨论后共同小结．

师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．

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