信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优秀公开课教案

椭圆

备高考| 3个任务

1．掌握椭圆的定义、几何图形及标准方程．

2．掌握椭圆的简单几何性质．

3．学会解决直线与椭圆位置关系的相关问题．

要点梳理

一、椭圆的定义及标准方程

1．定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和

(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫做椭圆的

，两焦点间的距离叫做椭圆的

．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若

，则集合P为椭圆；

(2)若

，则集合P为线段；

(3)若

，则集合P为空集．

2．标准方程

x2y2中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞by2x2＞0)；中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)．

[必记结论] x2y2以椭圆a2＋b2＝1a＞b＞0上一点Px0，y0y0≠0和焦点F1－c，0，F2c，10为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则S△PF1F2＝2|PF1||PF2|·sin θ

1

二、椭圆的几何性质

x2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0)

y2x2a2＋b2＝1(a＞b＞0) 标准方程

基础自测

1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(

)

≤x≤

≤y≤

≤x≤

≤y≤

性质范围

对称性

顶点

对称轴：

；对称中心：

A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴

焦距

离心率

长轴A1A2的长为

；短轴B1B2的长为

|F1F2|＝2c

ce＝a∈

a，b，c的关系

c2＝

(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(

) y2x2(3)a2＋b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(

) x2y2y2x2(4)a2＋b2＝1(a＞b＞0)与a2＋b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(

)

2

x2y22．(2015·广东高考)已知椭圆25＋m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(

) A．2

B．3

C．4

D．9 x2y23．已知方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围为(

) 5－mm＋3A．(－3,5)

B．(－3,1)

C．(1,5)

D．(－3,1)∪(1,5) 54．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，离心率为5，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．

x2y25．已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

研考点| 梯度提升

考向1

椭圆的定义及标准方程

题型：选择、填空题

难度：低

命题指数：★☆☆

命题热点：椭圆标准方程的求法及应用椭圆的定义解题. 自主突破] x2y2(1)(2014·大纲全国卷)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为3F1、F2，离心率为3，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为(

) x2y2x22x2y2x2y2A.3＋2＝1

B.3＋y＝1

C.12＋8＝1

D.12＋4＝1 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，

3

1)、P2(－3，－2)，则椭圆的方程为__________________．

[规律总结] 待定系数法求椭圆的标准方程

求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．

考向2

椭圆的几何性质能力考点

[师生共研] x22(1)(2015·东北三省三校联考)若椭圆4＋y＝1的两个焦点分别是F1，→→F2，点P是椭圆上任意一点，则PF1·PF2的取值范围是(

) A．[1,4]

B．[1,3]

C．[－2,1]

D．[－1,1] x2y2(2)(2015·浙江高考)椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线yb＝cx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．

[

课堂练习]

1．(2015·广东四校联考)已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为(

) 1321A.3

B.3

C.2

D.2

2．已知动圆M过定点A(－3,0)并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(

) x2y2x2y2x2y2x2y2A.16＋7＝1

B.7＋16＝1

C.16－7＝1

D.7－16＝1 x2y23．过点A(3，－2)且与椭圆9＋4＝1有相同焦点的椭圆的方程

4

为(

) x2y2x2y2x2y2x2y2A.15＋10＝1

B.25＋20＝1

C.10＋15＝1

D.20＋15＝1 x2y24．(2015·运城二模)已知椭圆36＋9＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(

) 11A.2

B．－2

C．2

D．－2 x22

5．已知椭圆4＋y＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该→→椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为(

) 23263A.3

B.3

C.3

D.3 [

课后练习]

x2y21．P是椭圆5＋4＝1上的一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积等于_____________________________________________．

2．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为________．

x223．(2015·邯郸模拟)已知P在椭圆4＋y＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为________．

4．(2015·山西质检)已知椭圆E的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，2且经过点1，. 2(1)求椭圆E的方程；

5

→→(2)过P(－2,0)的直线l交E于A，B两点，且PB＝3PA，设A，B两点关于x轴的对称点分别是C，D，求四边形ACDB的外接圆的方程．

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