信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆国家优质课一等奖

椭圆及其标准方程

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一、教学目标————————————————————————————————

（一）知识与技能

1. 掌握椭圆的定义和标准方程；

2. 会求简单的椭圆方程；

（二）过程与方法

1.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

3.在数学思想方法的不断渗透过程中，学生能自觉利用数学思想方法分析和解决问题。

（三）情感、态度与价值观

1.充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。

2.重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。

3.通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。

4.通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美、数与形的和谐美。

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二、教学重点与难点—————————————————————————————————

1．重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用

2. 难点：标准方程的建立与推导

■三、教学方式————————————————————————————————————

启发探究式

互动式

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四、教学媒体————————————————————————————————————

多媒体课件

教具（一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板）

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五、教学过程设计——————————————————————————————

教学

环节

以

境

激

情

教学过程

材料1：行星运行模拟轨道图. 材料2：北京南站建筑

材料3: 珠宝

材料4：镜子

材料5：丰田车标

展示生活中椭圆图片

教师行为

设问1：请大家观察，我们能从中发现哪种共同的几何图形呢？

设问2：生活中处处都有这种美丽的曲线，我们称之为椭圆，怎样的曲线才是严格意义上的椭圆呢？是不是我们随手画的扁些的圆都设计意图

利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生充分认识生活中的椭圆，明确本节课的研究方向，为下面学习做教师

技能

导入

情景

学情

预测

（集体回答）

发现研究对象，产生疑问，萌生兴趣

第1页，共5页

教学

环节

教学过程

教师行为

是椭圆呢？我们这节课共同来认识椭圆。

设计意图

好心理准备。

教师

技能

学情

预测

合

作

探

究

自制教具，硬纸板演示椭圆的生成过程，做出椭圆

教师引导演示，学生分组操作，提出问题

建

构

新

知

椭圆定义：

平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数（大于F1F2）设问8：常数有没有要求？为什么？

的点的轨迹叫做椭圆。

总结归纳，板书椭圆定这两个定点叫做义，强化学生认识。

椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的设问9：我们已经理解了椭圆的定义，我们能否建立椭焦距。

圆的方程更精确的研究它

呢？回忆曲线方程的建立

过程分为几步？分别是？

1.

建系

以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系

2.

设点

设M（x

, y）,则F1(-c,0), 设问3：在操作过程中，有哪些注意事项？

设问4：图钉不动，能否抽象为数学符号。笔尖滑动，如何表示？

设问5：笔尖滑动过程当中，绳长不变，表示笔尖这个动点满足什么几何条件？

设问6：通过椭圆的生成过程，能否给椭圆下一个定义？

设问7：椭圆定义关键词是什么？

引导学生从实验中分析抽象出几何关系，帮助学生总结归纳椭圆定义。

动手

操作

提问

引导

通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力和严谨性）

强化

概念

语言

表述

1.学生对设问3的回答会有困难。应可以回答到图钉固定，笔尖滑动。

2.绳长不变还需耐心引导。

1.学生基本能理解椭圆定义，但对于常数范围，平面前提容易忽略。

设问10：请观察椭圆的几何特征，如何建系才能使椭圆的方程简单？

F2(c,0) 3.限式

MF1MF22a

4.代点

MF1MF22a

(xc)2y2(xc)2y22a

5.化简

椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝

试，教师协从指导，再展示学生设出动点，写出已知点坐标。根据两点之间距离公式结果。

代入等量关系

类比圆的方程的推导，写出

椭圆上的点所满足的等量

关系。

设问11：如何化简去根号？

设问12：请大家分组讨论，

尝试化简这个方程。

（多媒体展示学生化简过第2页，共5页

提问

引导

1.学生可能会有不同建系方法，指出合理建系，建议课后不同建系探讨。

2.先引导，再放手，降低问题的难度。学生能理解双根式方程的处理方法。需要针对性点评。

教学

环节

教学过程

(xc)2y2(xc)2y22aa2cxa(xc)2y2(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)x2y21a2a2c2教师行为

程。针对性讲评）

设计意图

教师

技能

学情

预测

3.对直接平方的同学个别指导。

由椭圆定义可知，2a2c，即ac，所以

a2c20

b2a2c2

x2y2则有221

abyMbF10acF2x设问13：从形的角度来来考虑，当点M移动到如图位置时，观察MF1，MF2长多少？能否从图中找出长为c的线段？那么MO长为多少？

设问14：如果椭圆的焦点在y轴上呢？请大家小组讨论，猜想椭圆的方程有何改变？

设问15：为什么？再推导一遍？

实物投影展示学生图2化简过程

教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．）

语言

表述

变化

强化

4.焦点在y轴的标准方程，能发现焦点坐标改变，部分同学能猜想得到方程，但理由说不清，需引导。

x2y2讲评：221的原始ab等

式2为xcy2xc2y22a

而焦点在y轴上时，由MF1MF22a得

yc2x2yc2x22a

概

念

辨

析

x2y21(ab0)a2b2对比这两个等式，能发现什么结论？

请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出a2,b2。

x2y2（1）1

10036x2y2（2）1

36100x2y2（3）1

3636x2y2（4）1

10036(设计意图：使学生巩固掌握椭圆标准方程的形式和焦点位置判断，能初步运用椭圆定义)

1．学生能直观感受发现椭圆的标准方程的形式特点，在不断与标准方程的对比中能发现焦点位置的判断方法。

2.学生对第3页，共5页

教学

环节

教学过程

教师行为

请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点. （5）4x29y216

设计意图

教师

技能

学情

预测

椭圆标准方程的特点认识不足。

yx21(ab0)

2ab22

概

念

辨

析

1.椭圆方程为x2y21，如果椭10036圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是 。

2.已知a10，焦距为16，焦点在坐标轴上，则椭圆的标准方程为 。

例1.已知椭圆的两个焦点分别是2,0，同学抢答。

及时鼓励，总结。

范

例

学

习

2,0，并且经过点53,，求它的标22准方程。

请大家观察，目标是求椭圆的标准方程，即需要求出a2，b2。已知焦点，则有条件c2。那么点在椭圆上这个条件如何使用？数的角度如何理解？形的方向是否有帮助？

总结归纳：求椭圆方程的步骤

1.要分析椭圆的焦点位置，设出椭圆方程；

2.运用椭圆定义或待定系数法解题。

回顾一下本节课的知识点。

总结：我们理解了椭圆的定义，掌握了椭圆的标准方程，会求焦点坐标，熟记a，b，c的关系，

有哪些思想方法？

巩固椭圆定义和标准方程

（学会用待定系数法求椭圆的标准方程，体会椭圆定义在解题中的重要作用.）

鼓励

强化

总结

格式

规范

给出

模仿

示例

善于

引导

精于

点评

学生分类讨论思想认识不深，容易漏解

1.较多学生会选用待定系数法，但是困于计算能力，无法求解得出。还有部分同学忽视a，b，c关系。

思想方法的总结会有困难，要提出在哪个环节运用了那种思想方法。

归

纳

总

结

请根据所学知识完成下表。

通过学生口述，检测学生课堂知识的掌握情况。通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己。

总结

第4页，共5页

教学

环节

课

外

思

考

操

作

教学过程

思考：已知平面内两定点分别是0,8，教师行为

请同学们依据上述折纸操作步骤试一试，猜想分析实验结果。

设问：我们能否运用本节课所学的知识，解释一下为什么会出现椭圆？

设计意图

考察学生分析问题解决问题的能力，能否将知识转化应用。

教师

技能

拓展

延伸

强调

变化

学情

预测

部分同学会运用求曲线方程的方法求轨迹，忽视椭圆定义。

学生对折纸步骤的理解不清晰，需要时间体会。引导学生折叠几次即可。

0,8，一动点P到

作

业

布

置

两定点的距离之和为20，求动点P的轨迹方程。

操作：设圆心是O，在圆内不是圆心处任取一点F。

第一步：在圆上任取一点A，连接OA 第二步：折叠圆使点A与点F重合，为清楚起见，可将折痕用红线标出；第三步：描出折痕与半径OA交点B；

第四步：重复以上过程，不断取点A1,，A2……，不断做出交

点B1，B2……。

最终，将交点B，B1，B2……等用平滑曲线连接，你发现了什么？

动手操作，几何画板演示。

必做：1.P49 习题请同学们课后完成。

2.2A组1,2 选作：2求与圆（x-2）2+y2=1外切，且与圆（x+2）2+y2=49内切的动圆圆心的轨迹方程。

3.阅读P42页探究与发现，回答为什么水杯倾斜水面截口曲线是椭圆呢？

针对本节课的教学重点：理解椭圆定义和会求简单椭圆的标准方程，设计作业题，帮助学生落实课程要求。

学生课后独立完成

课后延伸思维拓展

板书设计：

2.2.1椭圆及其标准方程

一、定义：MF1

MF22a(2a2c)

F1F22c

教具展示区

二、标准方程：

焦点在x焦点在yx2y2轴上：221ab0

aby2x2第5页，共5页

轴上：221ab0

aba,b,c关系：a2b2c2