2.1 圆锥曲线优质课教案内容

2.1

圆锥曲线

教学目标：

1．通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言描述．

2．通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义，能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义．

教学重点：

椭圆、抛物线、双曲线的定义． 教学难点：

用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．[来源

．:Z+xx+k．Com]

教具：

多媒体课件、实物投影仪．

内容分析：

本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念．这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系．根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义．这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养．[来源:学科

网]

学法指导：

教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解．对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出放进双球后的图形，再引导学生发现“到两切点距离之和为定值”的特性，这一内容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究．

教学过程设计：

1．问题情境．[来源:学,科,网Z,X,X,K]

我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况，提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？

2．学生活动．

学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：

对于Dandelin双球理论只要让学生感知、认同即可．[来源:学*科*网Z*X

3．建构数学．

（1）圆锥曲线的定义．[．来源:学科网]

椭圆：平面内到两定点F1，F2的距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成（类比椭圆的定义）．

双曲线：平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

第三种情形，平面与圆锥曲线的截线是一条曲线．来源:学_科_网

抛物线：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

（2）圆锥曲线的定义式．

上面的三个结论我们都可以用数学表达式来体现：设平面内的动点为M．[来

椭圆：动点M满足的式子：MF1MF22a（2a>F1F2的常数）

双曲线：动点M满足的式子：MF1MF22a（0<2a

抛物线：动点M满足的式子：MF＝d（d为动点M到直线l的距离）

我们可利用上面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么．

4．数学应用．

例1

已知∆ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB，BC，AC成等差数列．

（1）求证：点A在一个椭圆上运动；

（2）写出这个椭圆的焦点坐标．

例2

动圆M过定圆C外的一点A，且与圆C外切，问：动圆圆心M的轨迹是什么图形？

变式

若动圆M过点A且与圆C 相切呢？

例3

已知定点F和定直线l，F不在直线l上，动圆M过F点且与直线l相切，求证：圆心M的轨迹是一条抛物线．

分析

欲证明轨迹为抛物线只需抓住抛物线的定义即可．

课堂练习：

（1）已知∆ABC中，BC长为6，周长为16，那么顶点A在怎样的曲线上运动？[来源:学,科,网Z,X,X,K]

（2）设Q是圆x2y24上的动点，另有点Al M F 3,0，线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，则点P的轨迹是何曲线？

5．回顾小结．

（1）三种圆锥曲线的定义．[．来源:学§科§网]

（2）三种圆锥曲线的定义式．

6．作业布置．