2.2.1 函数的单调性国家优质课一等奖

2.2 函数的单调性（1）

教学目标：

1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；

2．通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想．

教学重点：

用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数单调性定义判断函数单调性．

教学过程：

一、问题情境

如图（课本37页图2-2-1），是气温关于时间t的函数，记为＝f (t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？

二、学生活动

问题1

你能说出气温的变化趋势吗? 问题2

怎样用数学语言刻画上述时段内“气温随时间的增大而上升”这一特征? 问题3

我们是否能说“在区间[0, 14]上气温随着时间的增大而上升”? 问题4

如何用数学语言刻画“在[0, 4]上气温随着时间的增大而下降”? 通过讨论,先结合图4给出函数f(x)在区间I上是单调增函数的定义,再结合图5给出函数f(x)在区间I上是单调减函数的定义. 10 8 6 4 2 －2 /℃

2 4 14 24 t/h

(图4)

(图5)

三、数学建构

1．增函数与减函数：

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I是单调增函数，区间I称为y＝f(x)的单调增区间．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I是单调减函数，区间I称为y＝f(x)的单调减区间．

2．函数的单调性与单调区间：

如果函数y＝f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．

单调增区间与单调减区间统称为单调区间．

注：1.

判断函数的单调性必须在指定区间内研究,而指定区间一定是定义域的子集. 2. 判断函数单调性的依据并不唯一,除了定义中的形式,还可以是“若当x1>

x2时,都有f(x1)> f(x2)”,也可以判断y＝f(x)在区间D上是单调增函数.判断函数增、减性的关键是自变量x1, x2与因变量y1, y2的大小关系是否一致,若大小关系一致,即为单调增函数;若大小关系不一致,则为单调减函数. 3.一般所说的函数的单调性，就是要指出函数的单调区间，并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数．

四、数学运用

例1

画出下列函数的图象，结合图象说出函数的单调性．

1．y＝x2＋2x－1

[题后反思]

有效利用图形语言:“图象从左向右逐渐上升,则是单调增函数;图象从左向右逐渐下降,则是单调减函数.”同时让学生明白:函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质,并强调单调区间的写法.注意第(2)小题不能写成并集形式. 变式

观察下列函数的图象,写出单调区间. 2．y＝

2x

(1)

(2)

[题后反思]

这两个函数在定义域上都不是单调增函数. 1例2

求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．

x

[题后反思]

根据定义证明(或判断)函数单调性一般采用作差比较法,其步骤如下: (1)设x1，x2是给定区间内的任意两个值,且x1＜x2; (2)比较f(x1)与f(x2)的大小,一般采用作差法f(x1)-

f(x2),并将此差式变形(要注意变形的程度); (3)判断f(x1)- f(x2)的正负(要注意说理的充分性); (4)根据f(x1)- f(x2)的符号确定函数的增减性. 练习：说出下列函数的单调性并证明．

1．y＝－x2＋2 五、回顾小结

1. 函数的单调性是函数的局部性质,因此一定要强调在某区间上;函数的单调性反映了函数的变化趋势,并用精确的数学语言进行刻画、描述,关键词有“任意两个值x1，x2∈D”中的“任意”,“当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2)”中的“都有”等. 2. 掌握判断函数在某个区间上的单调性的方法: (1) 可以根据函数的图象,直接写出函数的单调区间; (2) 代数证明的基本步骤为:取值→作差→变形(变形的目标是因式积商或者平方和)→定号. 3. 单调区间不能随便求并集．

六、作业

课堂作业：课本44页2，3，7题．

2．y＝＋1 2x