3.4.1 函数与方程教学实录与评析

§3.4.1 函数与方程(教学设计)

第一课时 函数的零点

执教人：董荣森 ( 江苏省怀仁中学 )

【设计理念】

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出“高中课程应努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”.数学课堂教学应让学生通过自主探索活动,获得对数学概念的理解、体验结论与定理的逐步形成过程，体会其蕴含的重要数学思想。笔者采用“三动”课堂教学范式，从运用多元表征解决数学问题角度来设计本节课，“三动”即“问题驱动、主体活动、立体互动”，力争把数学的学术形态转化为能够容易被学生接受的教学形态，以期更好地体现并落实新课程理念，从而提升学生的数学核心素养。

【教学目标】

1.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程实数根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程实根之间的联系. 2.掌握函数零点存在性定理,并能够运用它来解决一些简单的问题. 3.体验并理解函数与方程之间相互转化的数学思想与方法,培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力. 【重点难点】

重点：函数的零点概念、函数零点存在定理、函数与方程的相互转化

难点：函数零点存在定理的发现、完善、形成与应用

【教学流程】

一、问题驱动,引入新课

我们已经学了利用对数知识来求方程0.840.5的近似解，即xlog0.840.5xxlg0.54. lg0.84【问题1】如果利用图象能求出0.840.5的近似解吗？（运用超几何画板演示）

二、主体活动,建构数学

（一）观察特例，归纳提炼

【问题2】请同学们观察下面几个具体的一元二次方程及相应二次函数图象，并回答一元二次方程的根、二次函数图象与x轴交点坐标分别是什么，它们之间有何关系？

2①一元二次方程x2x30与函数yx2x3； 2②一元二次方程x2x10与函数yx2x1； 22③一元二次方程x2x30与函数yx22x3；

① ② ③

【问题3】一般地，一元二次方程axbxc0(a0)的根与二次函数yaxbxc(a0)图象有什么关系呢？

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b24ac

20

0

0

方程无实根

2bb4acaxbxc0(a0)的根

x1，

=22ax1x2

b

2a

yax2bxc的图象

函数图象与x轴交点坐标

(x1,0),(x20)

bb24ac

x1,22a(x1,0)

x1x2b

2a没有交点

无零点

yaxbxc的零点

2【归纳总结1】由此，我们可以知道：

◆一元二次方程ax2bxc0(a0)的实数根就是二次函数yax2bxc(a0)的函数值y 时的自变量x的值.也就是二次函数yax2bxc(a0)的图象与 轴的交点的 坐标. （二）导出概念，寻找联系

◆函数零点概念：一般地，我们把使函数yfx的值为0的实数x称为函数yfx的零点，即方程fx0的实数根叫做函数yfx的零点. 注意：零点不是点！

一元二次方程axbxc0(a0)的实数根也称为函数yaxbxc(a0)的 . ◆方程fx0有解函数yfx图象与x轴有交点函数yfx有零点.

【设计意图】由具体（特殊）的一元二次方程（函数）到一般的一元二次方程（函数）再抽象到任意方程（函数）,思维的层次逐步深入，螺旋上升.设计目的与意图是让学生得出函数零点概念以及函数零点与方程根的联系. 三、立体互动,运用数学

【目标1】有关求函数零点或零点个数问题

2【例1】（口答）(1)函数f(x)xb的零点是b

；(2)函数yx4x5的零点是 5，-1 ；

22(3)函数f(x)2x123的零点是  ；(4)函数f(x)x3x的零点是

0,3

22x12【变式】(1)函数f(x)x1的零点是 0 ；(2)函数f(x)lnxx3的零点个数 1个. 2(3)函数f(x)xln(x2)1的零点个数 2个 . 【归纳总结2】求函数零点或零点个数的方法

(1)代数法。从方程（数）的角度，将零点问题转化为求方程f(x)0的根

(2)几何法。从图象（形）的角度，对方程f(x)0进行适当变形，通过构造函数将方程转化为两个熟悉的函数，在同一坐标系中作出它们图象,然后观察其交点横坐标或个数，进而确定函数的零点或个数。

【目标2】有关证明或判断函数零点的存在问题

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【例2】求证：二次函数y2x23x7有两个不同的零点.

证明:方法一(代数法):考察二次方程2x23x70,因为3242(7)650

所以方程2x3x70有两个不相等的实数根.因此,二次函数y2x23x7有两个不同的零点.

方法二(几何法):由f(x)2x23x7的二次项系数为2,所以抛物线开口向上, 且f(1)23720,所以二次函数y2x23x7与x轴有两个交点. 因此,二次函数y2x23x7有两个不同的零点.

【问题4】观察下列《小马过河》的三组画面，请你推断哪组画面一定说明这匹小马过河成功？

（一）

观察推理，发现猜想

2第一组 第二组 第三组

（二）完善猜想，形成定理(画一画小马从A到B可能走的线路) yAOybBa

yABba

xObxOa

xBA① ② ③

【猜想】由图①②可知，若函数yfx在区间a,b上有零点，则必有fafb0. 【问题5】若函数yfx在区间a,b上有fafb0，则函数yfx在区间a,b上一点有零点吗？

【归纳总结3】

◆零点存在性定理：一般地，若函数yfx在区间a,b上的图象是一条 的曲线，且 ，则函数yfx在区间a,b上有零点. 【追问1】在什么条件的情况下，有唯一零点呢？

◆若函数yfx在区间a,b上

且

，且fafb0,则函数yfx在区间a,b上有 零点. 【追问2】为什么题设中是闭区间a,b,而结论是开区间a,b呢? （三）应用定理，深化理解

【例3】判断函数fxx2x1在区间2,3上是否存在零点. 22【解法1】根据求根公式可得方程x2x10的两个根分别为x112,x212

因为122,所以2x1123.因此, 函数fxx2x1在区间2,3上存在零点. 2第

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【解法2】如图,因为f210,f(3)20,而二次函数fxx2x1在区间[2,3]上2的图象是不间断的,这表明此函数图象在区间2,3上一定穿过x轴，即函数在区间2,3上存在零点. 【变式】求证：方程xx10在区间2,1上有实根. 32【证明】设函数f(x)x3x21，因为f(2)(2)3(2)2130，

f(1)(1)3(1)2110，即f(2)f(1)0，且函数f(x)的图象在区间[2,1]上是32不间断的，所以函数f(x)x3x21在区间2,1上存在零点.因此，方程xx10在区间2,1上有实根.

【思考】如果x0是函数yfx的零点，且mx0n,那么fmfn0一定成立吗？____不一定___

【小结与反思】

本节课，我们主要学习了哪些知识？

1.“一”即一个重要概念：函数零点定义:使函数yfx的值为0的实数x称为函数yfx的

零点

.零点是点吗？ 不是 .

2.“二”即两种方法：代数法、几何法。如何证明函数（方程）在某区间上有零点（解）？（从数的角度，通过解方程、根的判别式等来解决；从形的角度，通过构造函数，利用图象和零点存在定理来解决）

3.“三”即三种重要数学思想：函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想。 4.“四”即研究问题“四”步法：观察猜想—推理验证—形成定理—应用定理

最后我想以华罗庚先生的一首诗《数形诗》来结束本节课（齐声朗诵）

数形诗

——华罗庚

数形本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事休。

几何代数统一体，永远联系莫分离。

【课后作业】

1.函数yx+8的零点是 . 2.函数f(x)x2xa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 3.若yf(x),xR,f(x)f(x)，当x0时，yf(x)单调递增，f(1)f(2)0，则方程f(x)0的根的个数为 . 24.若方程4x3x+k30没有实数根，则实数k的取值范围是__________________. 325.证明:函数fxx3x1在区间0,1上有零点. 36.求证：方程5x7x10的根一个在区间1,0上，另一个在区间1,2上. 2第

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