3.4.1 函数与方程教案（名师）

函数与方程

洋河实验学校

倪柱

教学目标：

1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系。

2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关方程根的分布问题。

3．通过函数零点内容的学习，分析解决对方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识。

4．通过本节内容的学习，渗透无限逼近的数学思想及数学方法。

教学重点：

1．函数零点存在性的判断。 2. 用图象法求方程的近似解；

教学难点：

1.

数形结合思想，转化化归思想的培养与应用。 2. 图象与二分法相结合。

教学方法：

在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合。

教学过程：

一、问题情境

1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－2，0)，试根据图象y

填空：

（1）k

0，b

0；

（2）方程kx＋b＝0的解是

；

（3）不等式kx＋b＜0的解集

；

－2 O

图1 x

2．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空：

（1）方程ax2＋bx＋c＝0的解是

；

（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为

；

ax2＋bx＋c＜0的解集为

．

二、建构数学

1．函数y＝f (x)零点的定义；

2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间关系：

△＝b2－4ac

△＞0

y

△＝0

y

△＜0

y

ax2＋bx＋c＝0的根

y＝ax2＋bx＋c的图象

x1

O

x2

x

O x1＝x2

x

O

x

y＝ax＋bx＋c的零点

2

3．函数零点存在的条件：函数y＝f (x)在区间[a，b]上不间断，且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点。

三、数学运用

例1

函数y＝f (x)(x[－5，3])的图象如图所示

，根据图象，写出函数f (x)y 的零点及不等式f (x)＞0与f (x)＜0的解集。

－5 －3 O x

－1 1 3

例2

求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点。

例3

判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？

例4

求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点。

练习：（1）函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是_______ 。

（2）若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围是___________；

（3）二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是

；

（4）已知函数f(x)＝x3－3x＋3在R上有且只有一个零点，且该零点在区间[t，t＋1]上，则实数t＝___

__．

四、建构数学

1．方程的解的几何解释：方程f(x)＝g(x)的解，就是函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标．

2．图象法解方程：利用两个函数的图象，可粗略地估算出方程f(x)＝g(x)的近似解，这就是图象法解方程．

注：（1）在精确度要求不高时，可用图象法求解；

（2）在精确度要求较高时，先用图象法确定解存在的区间。

3．数形结合：数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微。”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。

五、数学运用

例5

利用函数图象确定方程lgx＝3－x的近似解．

练习：

（1）方程lgx＝x－5的大于1的根在区间(a，a＋1)内，则正整数a＝

．再

结合二分法，得lgx＝x－5的近似解约为

（精确到0.1）．

（2）用两种方法解方程2x2＝3x－1．

六、要点归纳与方法小结

1．函数零点的概念、求法。

2．函数与方程的相互转化，即转化思想；以及数形结合思想．

3．方程解的几何解释；

4．先用图象确定范围，再用二分法求方程的近似解；

七、作业