3.3 幂函数优质课教案

幂函数

明目标、知重点

1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，yx的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用．

－112

1．幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．幂函数的图象与性质

由幂函数y＝x、yx、y＝x2、y＝x1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：

－12(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

(2)幂函数的图象都过点(1,1)；

(3)当α>0时，幂函数图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递增；

(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调递减．

[情境导学]

我们知道对于N＝ab，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝ax；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝logax.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题．

探究点一

幂函数的概念

问题

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；

(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；

(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数；

(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长aS，这里a是S的函数；

(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t1 km/s，这里v是t的函数．

－12思考1

上述5个问题中的函数有什么共同特征？

答

问题中涉及到的函数，都是形如：y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数．

小结

幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

思考2

判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？

答

幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数x4为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝2都不是幂函数．

1例1

在函数y＝2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为________．

x答案

1 1－解析

∵y＝2＝x2，所以是幂函数；

xy＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；

y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数．

反思与感悟

只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是．

跟踪训练1

已知y＝(m2＋2m－2)xm＋2m－2＝12解

由题意得m－1≠02n－3＝0m＝－3解得3，

n＝23所以m＝－3，n＝. 2探究点二

幂函数的图象和性质

问题

如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2) yx；(3)y＝x2；(4)y＝x1；(5)y＝x3的－m2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．

2

，

12图象，思考下列问题：

思考1

你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？

答

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；

(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

思考2

仔细观察你画出的五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？

定义域

值域

奇偶性

单调性

答

定义域

值域

奇偶性

单调性

y＝x R

R

奇

增

y＝x

R

[0，＋∞)

偶

在[0，＋∞) 上增，

在(－∞，0] 上减

2y＝x

y＝x2

y＝x3

yx

12y＝x1

－

y＝x

R

R

奇

增

3yx

[0，＋∞)

[0，＋∞)

非奇非偶

增

12y＝x1

－{x|x≠0} {y|y≠0} 奇

在(0，＋∞)上减，

在(－∞，0)上减

例2

证明幂函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．

证明

任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1

则f(x1)－f(x2)＝x1－x2

＝x1－x2x1＋x2x1－x2＝，

x1＋x2x1＋x2因为x1－x2<0，x1＋x2>0，

所以f(x1)

反思与感悟

证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f(x1)－f(x2)的正负．

跟踪训练2

求证：函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

证明

设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1

3f(x1)－f(x2)＝(－x31＋1)－(－x2＋1) 322＝x2－x31＝(x2－x1)(x1＋x1x2＋x2)．

∵x10，

x22322又∵x21＋x1x2＋x2＝x1＋2＋x2

4

x23x1＋2≥0，x2且≥0. 2422上式中两等号不能同时取得(否则x1＝x2＝0与x10，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．

例3

比较大小：

(1)1.5,1.7;(2)(－1.2)3，(－1.25)3；

(3)5.251,5.261,5.262. －－－1212解

(1)∵yx在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，

121.51.7;

(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，

∴(－1.2)3>(－1.25)3；

(3)∵y＝x－－11212在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，

－∴5.251>5.261；

∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.261>5.262. －－综上，5.251>5.261>5.262. －－－反思与感悟

比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用时进行比较．

跟踪训练3

比较下列各组数的大小：

17(1)8和()8;

978(2)(－2)(3)(1.1)－3和(－2.5)3；

－－0.1和(1.2)23－0.1；

35(4)(4.1),(3.8)和(1.9).

解

(1) 8787178(),函数yx8在(0，＋∞)上为增函数，

8251111又>，则()8()8,

8989从而8787717()8.

9－3(2)幂函数y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，

又∵－2>－2.5，∴(－2)3<(－2.5)3. －－(3)幂函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，

－0.1又∵1.1<1.2，∴1.12525>1.2－0.1. (4)(4.1)11;0(3.8)231231;(1.9)0,

35(－1.9)3.835234.1.

25

1．下列函数中不是幂函数的是________．(填序号) ①y＝x；②y＝x3；③y＝2x；④y＝x1. －答案

③

解析

根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，③中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以③不是幂函数．

2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点2，2，则f(4)的值等于________．

21答案

22112－α解析

由f(x)＝x的图象经过点2，，得＝2，所以α＝－，则f(4)＝42＝21＝. 22221α13．设α∈－1，1，2，3，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为________．

答案

1,3 解析

y＝x－1的定义域为x≠0，yx的定义域为x＞0，只有y＝x，y＝x3的定义域为R. 1214．当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．

2答案

二、四

解析

幂函数y＝x，y＝x，y＝x的图象分布在第一、三象限，yx的图象分布在第一象限．

1所以幂函数y＝xα(α∈{－1，，1,3})的图象不可能经过第二、四象限．

2[呈重点、现规律]

1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．

2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关－1312

系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．

3．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．